Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 31
3.3 Das Vektorprodukt im euklidischen R 3
Wir betrachten den euklidischen Vektorraum V = R 3 mit der kanonischen Basis
{e1, e2, e3}, die bezüglich des kanonischen Skalarprodukts eine ONB ist.
Definition Wir definieren auf V eine zweistellige Verknüpfung, das Vektorprodukt
durch
V × V → V
×
(v, w) ↦→ v × w
v × w :=
⎛
⎝
v2w3 − v3w2
v3w1 − v1w3
v1w2 − v2w1
⎞
⎠
Anders als beim Skalarprodukt ist das Ergebnis wieder ein Vektor. Beachte, dass das
Vektorprodukt nicht assoziativ ist:
(e1 × e2) × e2 = e3 × e2 = −e1
e1 × (e2 × e2) = e1 × 0 = 0
Satz 20 (EU 4: Eigenschaften des Vektorprodukts)
(i) Das Vektorprodukt ist bilinear, d.h. für alle v, v1, v2, w, w1, w2 ∈ V gilt
(α1v1 + α2v2) × w = α1v1 × w + α2v2 × w
v × (α1w1 + α2w2) = α1v × w1 + α2v × w2.
(ii) Das Vektorprodukt ist schiefsymmetrisch, d.h. für alle v, w ∈ V gilt
w × v = −v × w.
(iii) Für u, v, w ∈ V gilt
〈u × v, w〉 = det(u, v, w).
(iv) Für v, w ∈ V gilt:
v × w 2 = v 2 w 2 − 〈v, w〉 2 .
(v) v und w sind linear abhängig genau dann, wenn v × w = 0.