Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 65
(ii) ⇐⇒ (v): Mit d := a + ic gilt
D ·
x
y
=
a x − c y
c x + a y
d[ϕ] · (x + iy) = (a + ic) · (x + iy)
= (a x − c y) + i(c x + a y).
(iv) =⇒ (i) Wir setzen D als reelle n × n–Matrix an:
D =
x y
z w
Mit λ1 := a − ic, gilt dann:
x + iy
z + iw
=
x y
z w
1
i
1
= (a − ic)
i
=
a − ic
c + ia
Daraus folgt die Darstellung in (ii). Es ist weiter a 2 + c 2 = |λ1| 2 = 1.
Reelle Diagonalisierbarkeit einer Matrix aus SO(R 2 ) liegt genau dann vor, wenn
λ1 = λ2 ∈ {−1, +1}.
In diesen Fällen ergibt sich:
D =
1 0
0 1
= I bzw. D =
−1 0
0 −1
= −I.
Die zweite Abbildung ist die Punktspiegelung mit 0 als Zentrum.
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