Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 18 Beweis Wir zeigen die Aussage (i) für m = n. Die allgemeine Aussage folgt dann mit Satz D1 (ii). det A = σ(π) · = = π∈Sn n k=1 n k=1 n aj,π(j) = j=1 π∈Sn,π(n)=k ank · Es bleibt zu zeigen, dass π∈Sn,π(n)=k π∈Sn,π(n)=k n k=1 n−1 σ(π) · ank · π∈Sn,π(n)=k j=1 n−1 σ(π) · j=1 aj,π(j) aj,π(j) n−1 σ(π) · aj,π(j) = (−1) n+k · det A (nk) . j=1 σ(π) · n j=1 aj,π(j) Dazu sei ϑ die Permutation, die die Zahl k an die letzte Stelle n ,,verschiebt”: ϑ = (n n − 1) . . . (k + 2 k + 1)(k + 1 k), σ(ϑ) = (−1) n−k = (−1) n+k . Dann sind die Einträge von A (nk) gegeben durch a (nk) jℓ = a j,ϑ −1 (ℓ), 1 ≤ j, ℓ ≤ n − 1. Es gilt dann: π∈Sn,π(n)=k π∈Sn,ϑ −1 π(n)=k (−1) n+k · (−1) n+k · (−1) n+k · n−1 σ(π) · aj,π(j) = (Transformation π = ϑ−1π ) j=1 σ(ϑ −1 n−1 π) · aj,ϑ−1π(j) = π∈Sn,π(n)=n π∈Sn,π(n)=n π∈Sn−1 (−1) n+k · det A (nk) . j=1 n−1 σ(π) · aj,ϑ−1π(j) = j=1 n−1 σ(π) · a (nk) j,π(j) = j=1 j=1 n−1 σ(π) · a (nk) j,π(j) =
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 19 2.5 Einschub: Transposition einer Matrix Definition: Es sei A eine m×n–Matrix. Vertauscht man die Rollen von Zeilen und Spalten, so entsteht die n × m–Matrix A T = t A mit den Einträgen (A T )jk = akj, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m. ⎛ ⎜ ⎝ a11 a12 · · · a1n a21 a22 a2n . . .. am1 am2 · · · amn Sie heißt die zu A transponierte Matrix. . ⎞T ⎛ ⎞ a11 a21 · · · am1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a12 a22 am2 ⎟ ⎟ = ⎜ ⎠ ⎝ . . .. ⎟ . ⎠ a1n a2n · · · amn Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A T = A, sie heißt schiefsymmetrisch, wenn A T = −A. Satz 10 (Eigenschaften der Transposition) Für das Produkt zweier Matrizen A ∈ K m×n und B ∈ K n×ℓ gilt: (A · B) T = B T · A T . Für eine quadratische Matrix A gilt: det A T = det A. Beweis (i) Für die einzelnen Einträge von A · B gilt: (ii) ((A · B) T )jk = (A · B)kj = det A T (Z) = π∈Sn σ(π) · n j=1 n (A)ki(B)ij = i=1 (A T )jπ(j) = π∈Sn n i=1 σ(π) · (B T )ji(A T )ik = (B T · A T )jk. n j=1 (A)π(j)j (S) = det A.
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