Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 23
3 Euklidische Vektorräume
3.1 Grundlegende Definitionen
Definition Es sei V ein reeller Vektorraum. Wir betrachten eine Abbildung
〈· , · 〉 :
V × V → R
(v, w) ↦→ 〈v, w〉
mit zwei Argumenten in V und Werten in R. Es gibt auch andere Bezeichnungen anstelle
von 〈· , · 〉:
〈v, w〉 = 〈v|w〉 = (v|w) = v · w.
(Die letzte Version ist in der Schule üblich, aber sehr ungünstig, weil sie die Gültigkeit
eines Assoziativgesetzes suggeriert: (v · w) · u = v · (w · u). Das ist aber Quatsch!)
(i) Die Abbildung 〈· , · 〉 heißt bilinear oder eine Bilinearform, wenn sie in jedem einzelnen
Argument linear ist, d.h. wenn für alle v, v1, v2 ∈ V und α1, α2 ∈ R gilt
〈α1v1 + α2v2, v〉 = α1〈v1, v〉 + α2〈v2, v〉
〈v, α1v1 + α2v2〉 = α1〈v, v1〉 + α2〈v, v2〉.
Anders ausgedrückt: Für festes v ∈ V sind die Abbildungen
linear.
〈· , v〉 : V → R und 〈v, · 〉 : V → R
(ii) Die Abbildung 〈· , · 〉 heißt symmetrisch, wenn für alle v, w ∈ V gilt:
〈v, w〉 = 〈w, v〉.
(iii) 〈· , · 〉 heißt positiv definit, wenn für alle v ∈ V \ {0} gilt:
〈v, v〉 > 0.
(iv) Die Abbildung 〈· , · 〉 heißt ein Skalarprodukt oder ein Inneres Produkt, wenn sie
bilinear, symmetrisch und positiv definit ist.
(v) Ein endlich–dimensionaler reeller Vektorraum V , auf dem ein Skalarprodukt 〈· , · 〉
definiert ist, heißt ein euklidischer oder Euklid’scher Vektorraum. Man schreibt auch
(V, 〈· , · 〉).