Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 56 Beispiel 3 Es sei f eine lineare Abbildung in einem 3–dimensionalen Vektorraum. Bezüglich einer Basis habe sie die Matrixdarstellung ⎛ fB = ⎝ −2 0 1 0 3 0 −1 0 −2 ⎞ ⎠ Ist f über R oder über C diagonalisierbar? Wenn ja, führe das Diagonalisierungsverfahren durch. 1. Dieser Schritt erübrigt sich. 2. Durch Entwicklung nach der zweiten Zeile erhält man das charakteristische Polynom: χf(x) = (3 − x) · [(−2 − x) 2 + 1] = −(x − 3) · [(x + 2) 2 + 1]. 3. Der Fall K = R: Der zweite Faktor in χf ist positiv für alle x ∈ R. Es gibt also nur eine reelle Nullstelle λ1 = 3. f ist nicht über R diagonalisierbar. 3. Der Fall K = C: Man kann das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerlegen: χf(x) = −(x − 3) · [(x + 2) 2 + 1] = −(x − 3) · [x − (i − 2)] · [x − (−i − 2)]. Die Eigenwerte sind λ1 = 3, λ2 = i − 2, λ3 = −i − 2. 4. Die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte sind n1 = n2 = n3 = 1. 5. Bereits erledigt. 6. Die geometrischen Vielfachheiten müssen alle gleich 1 sein. 7. f ist über C diagonalisierbar. 8. Die Gleichung ⎛ (fB − λ1)x = ⎝ 5 0 1 0 0 0 −1 0 −5 hat die nicht–triviale Lösung ⎛ x11 = ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎠ . ⎞ ⎛ ⎠ x = ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎠
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 57 Die Gleichung ⎛ (fB − λ2)x = ⎝ hat die nicht–triviale Lösung ⎛ x21 = ⎝ Die Gleichung 1 0 i ⎞ ⎠ . ⎛ (fB − λ3)x = ⎝ hat die nicht–triviale Lösung ⎛ x31 = ⎝ 1 0 −i ⎞ ⎠ . 9. Wir bilden die Matrix T −1 ⎛ 0 1 1 ⎞ = ⎝ 1 0 0 ⎠ 0 i −i zusammengestellt. −i 0 1 0 5 − i 0 −1 0 −i +i 0 1 0 5 + i 0 −1 0 +i 10. Die inverse Matrix ist T = 1 2i · ⎛ −0 ⎝ i i 2i 0 0 0 1 −1 11. Es gilt dann ⎛ T · fB · T −1 = ⎝ ⎞ ⎠ ⎞ ⎛ ⎠ x = ⎝ ⎞ 3 0 0 0 i − 2 0 0 0 −i − 2 ⎛ ⎠ x = ⎝ ⎞ ⎠ . 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎠ ⎞ ⎠
Seite 1 und 2:
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Seite 3 und 4:
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Seite 5 und 6: S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Seite 55: S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Seite 83: S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Alle anzeigen

Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?