Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 71
6 Elementare affine Geometrie
6.1 Affine Räume
Was sind freie Vektoren, Verschiebungsvektoren, Ortsvektoren, Punkte, Klassen parallelgleicher
Pfeile,. . . ?
Definition Eine Menge P heißt (reeller) affiner Raum der Dimension n, wenn es einen
reellen Vektorraum V der Dimension n gibt und eine Abbildung
τ :
V × P → P
(v, P ) ↦→ τv(P ) =: P + v,
so dass die folgenden drei Eigenschaften erfüllt sind:
(1) Für jedes feste v ∈ V ist τv : P → P eine bijektive Abbildung.
(2) Zu P, Q ∈ P gibt es genau ein v ∈ V , so dass
τv(P ) = Q.
Dieser Verbindungsvektor v wird dann mit −→
P Q bezeichnet.
(3) Für v, w ∈ V gilt:
τv ◦ τw = τv+w.
Die Elemente von P heißen die Punkte des affinen Raumes.
Die Abbildungen τv heißt Translation oder Verschiebung (in P) um den Vektor v. Deshalb
kann der Vektorraum V auch als der Vektorraum der Translationen von P bezeichnet
werden.
Die Zuordnung
V → { Abbildungen P → P }
v ↦→ τv
heißt auch (Translations–)Operation des Vektorraums V auf der Menge P.
Mit dieser Definition wird eine Unterscheidung von Punkten (den statischen Objekten)
und den Verschiebungen (den dynamischen Objekten) in der Geometrie möglich.
Die Schreibweise in der Definition von τ macht bereits deutlich, dass man sich die Operation
von V auf P vorstellen kann als eine Art Anheften des Vektorpfeils v an einen Punkt
P ∈ P. Das Bild Q = P + v ist dann durch die Spitze des Pfeils festgelegt.
Dass sich ein affiner Raum von dem Vektorraum seiner Translationen nur wenig unterscheidet,
wird in dem folgenden Satz deutlich: