Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 14 Beweis Eine Multiplikation über alle Indices j ∈ {1, . . . , n} außer j = ℓ schreiben wir mit dem Zeichen . ⎛ ⎜ det ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ det ⎜ ⎝ a1 . aℓ−1 j=ℓ aℓ + a ′ ℓ aℓ+1 . an a1 . aℓ−1 α · aℓ aℓ+1 . an ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ = π∈Sn σ(π) · (aℓ,π(ℓ) + a ′ ℓ,π(ℓ)) · aj,π(j) j=ℓ = σ(π) · aℓ,π(ℓ) · aj,π(j) + π∈Sn ⎛ ⎜ = det ⎜ ⎝ a1 . aℓ−1 aℓ aℓ+1 . an ⎞ j=ℓ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + det ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ = σ(π) · α aℓ,π(ℓ) · π∈Sn j=ℓ a1 . aℓ−1 a ′ ℓ aℓ+1 . an aj,π(j) π∈Sn ⎞ ⎟ ⎠ = α · σ(π) · aℓ,π(ℓ) · π∈Sn ⎜ aj,π(j) = α · det ⎜ j=ℓ ⎜ ⎝ σ(π) · a ′ ℓ,π(ℓ) · aj,π(j) (ii) Es sei ϑ = (k ℓ) und A ′ die durch Vertauschung von k– und ℓ–ter Zeile aus A hervorgehende Matrix, d.h. Dann gilt a ′ jk = aϑ(j),k. det A ′ = σ(π) · π∈Sn n j=1 a ′ j,π(j) = π∈Sn σ(π) · n j=1 aϑ(j),π(j) ⎛ a1 . aℓ−1 aℓ aℓ+1 . an j=ℓ ⎞ ⎟ ⎠
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 15 = (−σ(π ◦ ϑ)) · π∈Sn n aj,π◦ϑ(j) = − σ(π) · j=1 π∈Sn n aj,π(j) = − det(A). (iii) Es gibt nur eine n–Kombination der Einträge von I, bei der das zugehörige Produkt ungleich Null ist. Dies ist das Produkt, das zur identischen Permutation gehört: a11 · a22 · . . . · ann = 1, alle anderen Produkte enthalten mindestens einen Eintrag ajk mit j = k, also ajk = 0. Das bedeutet aber: det A = n σ(π) · aj,π(j) = σ(π) · π∈Sn j=1 π=(1) n aj,π(j) = 1. (v) Die Beweise erfolgen genau analog zu den Beweisen von (i) und (ii). Man verwendet einfach die Leibniz–Formel (S) anstelle der Formel (Z). Folgerung 7 (D2 Weitere Eigenschaften) Die Determinantenfunktion hat die folgenden weiteren Eigenschaften: (i) Für jedes α ∈ K gilt: det(α · A) = α n · det A. j=1 (ii) Ist eine Zeile oder Spalte von A gleich Null, so gilt: det A = 0. (iii) Hat A zwei gleiche Zeilen oder zwei gleich Spalten, so gilt: det A = 0. (iv) Entsteht die Matrix A ′ aus der Matrix A dadurch, dass eine Zeile (Spalte) von A zu einer anderen Zeile (Spalte) von A addiert wird, so gilt: det A ′ = det A. (Vgl. LAL01, Abschnitt 4.4, S. 63) Beweis In der Übung. j=1
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