Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 40 Der springende Punkt ist, dass die neue Matrix eine Diagonalmatrix ist. Diagonalmatrizen sind viel einfacher zu lesen, zu interpretieren, mit ihnen kann man wesentlich besser rechnen. Beispielsweise kann man das der Abbildung f 2 zugeordnete Matrix–Quadrat f 2 B ′ oder die ,,Wurzel” einer Matrix viel leichter ausrechnen. Wie kann man Basen finden, bzgl. derer eine gegebene lineare Abbildung Diagonalgestalt annimmt?
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 41 4.4 Exkurs: Polynome Es sei K ein Körper (wir denken vor allem an K = R oder K = C). Definition (i) Eine Abbildung p : K → K heißt Polynom (über K), wenn es Zahlen pn, pn−1, . . . , p1, p0 ∈ K gibt, so dass p(x) = pnx n + pn−1x n−1 + . . . + p1x + p0. (ii) Ist pn = 0, so hat das Polynom, per Definition, den Grad n, symbolisch grad p = n. Der Grad des Null–Polynoms wird als −∞ festgelegt. (iii) Die Menge der Polynome über K wird mit K[x] bezeichnet. (Das ist ein bisschen seltsam, da der Buchstabe x eigentlich ohne Bedeutung ist.) (iv) Eine Zahl λ ∈ K heißt Nullstelle des Polynoms p, wenn p(λ) = 0. Die Polynome höchstens n–ten Grades bilden einen K–Vektorraum der Dimension n + 1. Polynome können multipliziert und nacheinander ausgeführt werden. Satz 24 (P1 Nullstellen und Linearfaktoren) Die beiden folgenden Aussagen über ein Polynom p ∈ K[x] n–ten Grades und eine Zahl λ ∈ K sind äquivalent: (i) λ ist eine Nullstelle von p. (ii) Es gibt ein Polynom q vom Grad n − 1, so dass p(x) = (x − λ) · q(x). Man nennt x − λ einen Linearfaktor von p. Man spricht hier auch von der Abspaltung eines Linearfaktors. Beweis Die Richtung (ii) =⇒ (i) ist trivial. Für die Umkehrung machen wir eine Vorüberlegung: Es gilt (x n − λ n ) = x n + x n−1 λ + x n−2 λ 2 + . . . + x 2 λ n−2 + xλ n−1 − x n−1 λ + x n−2 λ 2 + . . . + x 2 λ n−2 + xλ n−1 + λ n = (x − λ) · (x n−1 + x n−2 λ + . . . + xλ n−2 + λ n−1 =: Qn−1(x,λ) )
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