Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 35
4.2 Homomorphismen beim Basiswechsel
Sind nun zwei Vektorräume V und U mit dim V = n, dim U = m, und ein Homomorphismus
(lineare Abbildung) f : V → U gegeben, so kann man das obige Spiel anwenden,
um eine Matrixdarstellung für f zu finden. Ist B = {w1, . . . , wn} eine Basis für V und
C = {u1, . . . , um} eine Basis für U, so gibt das folgende Diagramm die Abbildungssituation
wieder:
K n . η −1
B
.
ηB
V . f U . ηC .
η −1
C
K m
Die gesamte Abbildung ηC ◦ f ◦ η −1
B : Kn → K m ist linear, sie kann also durch eine
m × n–Matrix
fCB ∈ K m×n
dargestellt werden. Beachte, dass diese Matrixdarstellung von den Basen C und B
abhängt.
In der j–ten Spalte von fCB stehen die Entwicklungskoeffizienten von f(wj), wj ∈ B,
bezüglich der Basis C = {u1, . . . , um}.
Es ist ja
fCB ej =
⎛
⎜
⎝
(fCB)1j
.
(fCB)mj
⎞
⎟
⎠
das Bild aus K m des j–ten kanonischen Einheitsvektors aus K n . Deshalb ist das Bild in
U des j–ten Basisvektors wj ∈ V
f(wj) = (fCB)1ju1 + . . . + (fCB)mjum =
m
k=1
(fCB)kjuk.
Es seien jetzt jeweils zwei Basen B, B ′ für V und C, C ′ für U gegeben. Wir stellen die
Frage, was mit der Matrix fCB bei einem Basiswechsel passiert. Die Situation ergibt sich
aus dem folgenden Diagramm:
K n
η −1
B
. ΘB ′ B V
..
K n
.
η B ′
f CB
f
f C ′ B ′
Man kann ablesen, dass gilt:
. .
U
η −1
C
.
η C ′
..
. .
. .
K m
..
K m
Θ C ′ C
fC ′ B ′ = ΘC ′ C · fCB · ΘBB ′ = ΘC ′ C · fCB · Θ −1
B ′ B .