Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 32
Beweis (i) – (iv) sind einfach nachzurechnen. (v) zeigt man mit Hilfe von (iv) und der
Cauchy–Schwarz–Ungleichung.
Bemerkung Aus der Gleichung (v) und mit Hilfe der Bemerkung 2 im Anschluss an
Satz EU 2 folgt, dass
v × w 2 = v 2 w 2 − 〈v, w〉 2 = v 2 w 2 · [1 − cos 2 ∢(v, w)]
und damit weiter
= v 2 w 2 · sin 2 ∢(v, w),
v × w = v w · | sin ∢(v, w)|.
Aufgrund der Betragsstriche beim Sinus braucht man sich hier nicht um Probleme der
Orientierung bei der Definition des Winkels zu kümmern.
4 Diagonalisierbarkeit
Frage: Kann man aus der Matrix
fB =
16
3
10
3
−5 −3
die (zweite, dritte, n–te) Wurzel ziehen? Wenn ja, wie lautet sie?
Diese Frage kann man mit Hilfe der Diagonalisierung von Matrizen beantworten.
4.1 Vektoren beim Basiswechsel
Es sei V ein n–dimensionaler Vektorraum über dem Körper K mit Basis B = {w1, . . . , wn}.
Es kann eine bijektive lineare Abbildung
ηB : V → K n
auf die folgende Weise definiert werden: Man entwickelt v ∈ V bzgl. der Basis
v = α1w1 + . . . + αnwn
und hat dann die bijektive Zuordnung
v
. ηB .
η −1
B
vB =
⎛
⎜
⎝
α1
.
αn
⎞
⎟
⎠ .