Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 17
2.4 Die Entwicklung einer Determinante
Es sei A eine n × n–Matrix.
Für m, ℓ ∈ {1, . . . , n} sei die Matrix A (mℓ) die (n − 1) × (n − 1)–Matrix, die aus A durch
Streichung der m–ten Zeile und ℓ–ten Spalte entsteht.
Satz 9 (D4: Entwicklung einer Determinante)
(i) Für eine Zeilennummer m gilt:
det A =
n
amk · (−1) m+k det A (mk) .
k=1
(ii) Für eine Spaltennummer ℓ gilt:
det A =
n
ajℓ · (−1) j+ℓ det A (jℓ) .
j=1
Beispiel: Wir entwickeln die Determinante einer 4 × 4–Matrix. Dabei benutzen wir eine
vereinfachende Schreibweise für Determinanten:
0 2 3 0
2 −1 0 −2
4 0 0 −3
1 1 2 0
= −2 ·
2 0 −2
4 0 −3
1 2 0
+ 3 ·
2 −1 −2
4 0 −3
1 1 0
=
(−2) · (−2) 2
4
−2
−3 + 3 · 1 · 3 − 1
=
9 + 2
4
−2
−3 = 9 + 2 = 11.
2 −2
4 −3