Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 63
und dann
a = d und b = −c oder a = −d und b = c. (+)
Im Fall a = d und b = c folgte mit (∗∗)
0 = ac + bd = ab + ba =⇒ ab = 0
und es ist auch eine der beiden Aussagen in (+) erfüllt. Der andere Fall a = −d und
b = −c würde die gleiche Folgerung nach sich ziehen.
Die Aussage (+) bedeutet, dass die Matrix A die Form
A = D =
hat, wobei
a −c
c a
a 2 + c 2 = 1 und S =
oder A = S · D =
1 0
0 −1
a c
c −a
Man kann umgekehrt nachrechnen, dass Matrizen dieser Form orthogonal sind.
Da det D = +1 und det S = −1 ist, können wir zusammenfassend feststellen:
SO(2) := SO(R 2 ) =
O(2) := O(R 2 ) =
a −c
c
a
a −c
c a
.
a
2 2
+ c = 1
a c
,
c −a
a
2 2
+ c = 1
Wir untersuchen weiter die hier auftretenden Matrizen D und S.
Die Matrix S bildet den ersten Einheitsvektor e1 auf sich selbst ab, der andere Eigenvektor
wird mit −1 multipliziert, also (an der durch e1 definierten Geraden) gespiegelt. S ist eine
Spiegelungsmatrix.