Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 78 (iv) =⇒ (ii): Dies ist einfach dann, wenn man den Trick kennt: Es sei Q ∈ P beliebig. Dann ist auch der Punkt P , definiert durch −→ AP = −→ AB − 〈−→ AB, −→ BQ〉 〈 −→ −→ · BQ, BQ〉 −→ BQ in Q enthalten. Daher gilt mit (iv) 0 ≤ −→ AP 2 − −→ AB 2 = −→ AB − 〈−→ AB, −→ BQ〉 〈 −→ −→ · BQ, BQ〉 −→ 2 −→ BQ − = −2 〈−→ AB, −→ 2 BQ〉 〈 −→ −→ + BQ, BQ〉 〈−→ AB, −→ 2 BQ〉 〈 −→ −→ 2 BQ, BQ〉 · 〈 −→ BQ, −→ AB 2 〈 BQ〉 = − −→ AB, −→ BQ〉 2 〈 −→ BQ, −→ BQ〉 ≤ 0. Daraus folgt aber 〈 −→ AB, −→ BQ〉 = 0 für alle Q ∈ Q. Mit Hilfe des in diesem Satz beschriebenen Punktes kann man den Abstand eines Punktes zu einem affinen Unterraum Q definieren. Definition Ist Q ein affiner Unterraum von P und A ∈ P ein Punkt, so heißt d(A, Q) := min{d(A, Q)|Q ∈ Q} = d(A, B) (B wie im Satz beschrieben ) der Abstand zwischen dem Unterraum Q und dem Punkt A. 6.3.2 Hyperebenen und Normalenvektoren Es sei Q eine Hyperebene in P und U der zugehörige (n − 1)–dimensionale Unterraum von V . Eine Orthonormalbasis B = {w1, . . . , wn−1} von U lässt sich durch einen Vektor n zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen. Er ist bis auf einen Faktor ±1 eindeutig bestimmt. Ein solcher Vektor n hat also die Länge 1 und steht senkrecht auf den Verbindungsvektoren in Q, er heißt deshalb Normaleneinheitsvektor für Q. Satz 48 Für den Abstand eines Punktes A ∈ P von einer Hyperebene Q gilt Ist Q ein beliebiger Punk in der Hyperebene Q, so gilt für den d(A, Q) = |〈n, −→ AQ〉|, wobei Q ein beliebiger Punkt von Q ist. Beweis Ist nämlich B ∈ Q der abstandsminimierende Punkt für A (vgl. oben), so stehen sowohl n als auch −→ AB (gemäß obigem Satz) auf der Hyperebene Q senkrecht. Damit sind sie aber linear abhängig. Mit Satz EU 2 (iii) (über die CSU) gilt dann d(A, Q) = d(A, B) = −→ AB = n · −→ AB = |〈n, −→ AB〉| = |〈n, −→ AB〉 + 〈n, −→ −→ BQ〉| = |〈n, AQ〉|.
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 79 Ist P ∈ Q ein fest gewählter Punkt in einer Hyperebene, so gilt für alle Q ∈ Q 〈n, −→ OQ − −→ OP 〉 = 0. Führt man eine Orthonormalbasis in dem Translationsvektorraum V ein, so kann diese Gleichung auch in Koordinatenform aufgeschrieben werden. Diese Gleichung heißt dann die Hesse’sche Normalform der Hyperebene Q.
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