Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 41
4.4 Exkurs: Polynome
Es sei K ein Körper (wir denken vor allem an K = R oder K = C).
Definition
(i) Eine Abbildung p : K → K heißt Polynom (über K), wenn es Zahlen
pn, pn−1, . . . , p1, p0 ∈ K gibt, so dass
p(x) = pnx n + pn−1x n−1 + . . . + p1x + p0.
(ii) Ist pn = 0, so hat das Polynom, per Definition, den Grad n, symbolisch
grad p = n.
Der Grad des Null–Polynoms wird als −∞ festgelegt.
(iii) Die Menge der Polynome über K wird mit K[x] bezeichnet. (Das ist ein bisschen
seltsam, da der Buchstabe x eigentlich ohne Bedeutung ist.)
(iv) Eine Zahl λ ∈ K heißt Nullstelle des Polynoms p, wenn p(λ) = 0.
Die Polynome höchstens n–ten Grades bilden einen K–Vektorraum der Dimension n + 1.
Polynome können multipliziert und nacheinander ausgeführt werden.
Satz 24 (P1 Nullstellen und Linearfaktoren) Die beiden folgenden Aussagen über
ein Polynom p ∈ K[x] n–ten Grades und eine Zahl λ ∈ K sind äquivalent:
(i) λ ist eine Nullstelle von p.
(ii) Es gibt ein Polynom q vom Grad n − 1, so dass
p(x) = (x − λ) · q(x).
Man nennt x − λ einen Linearfaktor von p. Man spricht hier auch von der Abspaltung
eines Linearfaktors.
Beweis Die Richtung (ii) =⇒ (i) ist trivial. Für die Umkehrung machen wir eine
Vorüberlegung: Es gilt
(x n − λ n ) =
x n + x n−1 λ + x n−2 λ 2 + . . . + x 2 λ n−2 + xλ n−1
−
x n−1 λ + x n−2 λ 2 + . . . + x 2 λ n−2 + xλ n−1 + λ n
= (x − λ) · (x n−1 + x n−2 λ + . . . + xλ n−2 + λ n−1
=: Qn−1(x,λ)
)