Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 73
Beweis (i) Es sei P ein beliebiger Punkt von P. Dann gilt:
τ0
(3)
◦ τ0 (P ) = τ0+0 (P ) = τ0 (P ).
Da τ0
Gleichung anwenden. Es folgt:
gemäß Eigenschaft (1) bijektiv ist, können wir die Umkehrabbildung τ −1
0
τ0 (P ) = P.
Also ist τ0 die identische Abbildung von P.
Die zweite Aussage ist jetzt ganz einfach zu zeigen: Es gilt nämlich
τ−v ◦ τv = τ0 = idP und τv ◦ τ−v = τ0 = idP.
und das heißt, dass τ0 die Umkehrabbildung von τv ist.
(ii) Der Vektor −→
P Q ist gemäß (2) durch die Eigenschaft
τ
P Q (P ) = Q
eindeutig charakterisiert.
Dann folgt die erste Behauptung mit
τPP (P ) = P = τ0 (P ).
Die zweite Behauptung sieht man so:
τPQ+ QR(P ) = τQR (τPQ (P )) = τQR (Q) = R = τPR (R).
Die dritte Behauptung ergibt sich mit der ersten und zweiten so:
−→
P Q + −→
QP = −→
P P = 0.
auf diese
(iii) ist klar.
6.2 Affine Unterräume
Definition Es sei P ein affiner Raum mit Translationsvektorraum V . Eine Teilmenge
Q ⊆ P heißt affiner Unterraum von P der Dimension m, wenn es einen Unterraum U ⊆ V
mit dim U = m gibt, so dass
−→
P Q ∈ U für alle P, Q ∈ Q.
Dieser Unterraum U ist eindeutig bestimmt.
Ein affiner Raum heißt