Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 82
Anwendung:
Satz 50 (Schnittpunkte von Transversalen in einem Dreieck) Es sei ABC ein
Dreieck in der Zeichenebene (Euklidische affine Ebene).
(i) Die Höhen des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
(ii) Die Mittelsenkrechten des Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Beweis
hb .
c
C
.
..
. .
. A
a
O
. .
ha
.. hc
Wir wählen irgendeinen Punkt O als Ursprung und bezeichnen die Ortsvektoren von
A, B, C mit a, b,c. Weiter bezeichnen wir mit ℓa, ℓb, ℓc Vektoren, die jeweils senkrecht
(ℓotrecht) auf den Seiten des Dreiecks stehen. Ihre Länge ist ohne Belang.
Es gilt dann:
〈 ℓa, −→
BC〉 = 〈 ℓb, −→
CA〉 = 〈 ℓc, −→
AB〉 = 0. (∗)
(i) Wir berechnen den Ortsvektor hab des Schnittpunkts der Höhen auf a und b durch den
Ansatz
hab = a + µa ℓa = b + µb ℓb.
b
..
B