Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 44 das charakteristische Polynom der linearen Abbildung. Die Spur der linearen Abbildung ist definitionsgemäß die Spur der Matrix fB: Spur(f) = Spur fB. Es besteht die Frage, ob diese Begriffe wohldefiniert sind und nicht von ,,irgendeiner Zufälligkeit” (hier: der gerade gewählten Basis) abhängen. Die Antwort gibt der folgende Satz 28 (ED 4: Eigenschaften ähnlicher Matrizen, Teil 2) Sind zwei Matrizen A und A ′ ähnlich zueinander, so stimmen ihre charakteristischen Polynome überein: χA(x) = χA ′(x). Es stimmen auch ihre Spuren überein: Spur A = Spur A ′ . Beweis Es sei A ′ = T AT −1 , dann gilt χA ′(x) = det(A′ − x) = det(T AT −1 − x) = det(T (A − x)T −1 ) = det T · det(A − x) · det(T −1 ) = det(A − x) = χA(x). Da die Spur in dem charakteristischen Polynom als ein Koeffizient auftritt, ist auch sie für beide Matrizen gleich.
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 45 4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren In diesem Abschnitt sei V ein n–dimensionaler K–Vektorraum, wobei K = R oder K = C. Für eine Zahl λ ∈ K bezeichnen wir die lineare Abbildung λ·id : V → V, v ↦→ λ·v, einfach mit λ. Sie wird bzgl. jeder Basis durch die λ–fache Einheitsmatrix λ · In dargestellt. Definition Es sei f eine lineare Abbildung V → V . (i) Man nennt λ ∈ K einen Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V \ {0} gibt, so dass erfüllt ist. f(v) = λ · v (ii) Der Vektor v ∈ V \ {0} heißt Eigenvektor von f (zum Eigenwert λ), wenn die Beziehung f(v) = λ · v gilt. (iii) Die Menge der Vektoren Eig(f, λ) = {v ∈ V |f(v) = λ · v} heißt der Eigenraum von f zum Eigenwert λ. Diese Menge besteht aus den Eigenvektoren zum Eigenwert λ und dem Nullvektor. Zeige: Der Eigenraum ist ein Unterraum (Abschnitt 3.5, LAL01). (iv) Die Dimension des Eigenraums Eig(f, λ) dim Eig(f, λ) = dim ker(f − λ) LA 14 = n − Rang(f − λ) (vgl. letzter Satz LA 14 in LAL01) heißt die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes λ. Satz 29 (ED 5: Charakterisierung von Eigenwerten) Es sei f : V → V ein Endomorphismus und B eine Basis von V . Die folgenden Aussagen über eine Zahl λ ∈ K sind äquivalent: (i) Die Zahl λ ist Eigenwert von f. (ii) Es gibt einen Vektor v ∈ V \ {0}, so dass (f − λ)(v) = 0, d.h. v liegt im Kern von f − λ. (iii) Es gibt eine Lösung vB ∈ K n \ {0} des LGSs (fB − λ)vB = 0.
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