Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 26
3.2 Norm und Orthogonalität
Definition Es sei (V, 〈· , · 〉) ein euklidischer Vektorraum.
(i) Die Abbildung
+
V → R 0
·
v ↦→ v := 〈v, v〉
heißt (euklidische) Norm oder (euklidische) Länge auf (V, 〈· , · 〉).
(ii) Ein Vektor v ∈ V heißt normiert oder Einheitsvektor, wenn er ,,Einheitslänge” hat:
v = 1.
(iii) Zwei einzelne Vektoren u, w ∈ V heißen orthogonal, wenn 〈u, w〉 = 0.
(iv) Zwei Teilmengen U, W heißen orthogonal, wenn gilt:
〈u, w〉 = 0 für alle u ∈ U, w ∈ W.
(v) Ist W ⊆ V eine Teilmenge von V , so heißt die Menge
W ⊥ := {v ∈ V |〈v, w〉 = 0 für alle w ∈ W }
das orthogonale Komplement von W .
(vi) Eine Teilmenge W ⊆ V heißt orthonormiert oder orthonormal, wenn die Vektoren
in W normiert und paarweise orthogonal sind:
w = 1 für alle w ∈ W,
〈w1, w2〉 = 0 für alle w1, w2 ∈ W mit w1 = w2.
(vii) Eine Basis W von V heißt Orthonormalbasis (ONB), wenn sie orthonormiert ist.