Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 50 Wir wenden auf diese Gleichung die Abbildung f − λm+1 an. Es gilt dann: α1( λ1 − λm+1)w1 + . . . + αm( λm − λm+1)wm + αm+1( λm+1 − λm+1) wm+1 = 0. =0 Nach Induktionsvoraussetzung ist Bm linear unabhängig, es folgt: α1( λ1 − λm+1) = 0, . . . αm( λm − λm+1) = 0, (∗∗) Es sei die Zahl ℓ ∈ {1, . . . , m + 1} die kleinste Zahl, so dass λℓ = λm+1, das heißt, der Vektor wℓ ist der erste in Bm, der den gleichen Eigenwert wie wm+1 hat. Umgekehrt heißt das aber, dass λj = λm+1 für alle j = 1, . . . , ℓ − 1. Dann folgt aber mit (∗∗), dass αj = 0 für alle j = 1, . . . , ℓ − 1, Damit reduziert sich die Gleichung (∗) auf αℓwℓ + . . . + αmwm + αm+1wm+1 = 0. Die Vektoren wj in dieser Linearkombination gehören aber alle zum Eigenraum Eig(f, λm+1) und sind gemäß der Auswahl am Anfang des Beweises linear unabhängig. Es folgt also, dass αℓ = . . . = αm = αm+1 = 0. (iv) =⇒ (i) Wähle in jedem Eigenraum eine Basis (aus Eigenvektoren). Die Menge aller dieser Eigenvektoren bildet eine Basis für V . fB hat dann Diagonalgestalt. Folgerung 32 Besitzt eine lineare Abbildung f : V → V in einem n–dimensionalen Vektorraum n verschiedene Eigenwerte λj ∈ K, so ist f diagonalisierbar. Beweis Setze in dem vorhergehenden Satz k = n und nj = 1 für j = 1, . . . , k.
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 51 Satz 33 (Algorithmus zur Diagonalisierung) Es sei V ein R–Vektorraum, f : V → V ein R–Endomorphismus und B = {w1, . . . , wn} eine Basis von V . Es sei weiter der Körper K = R oder K = C vorgegeben. 1 Berechne die Matrix fB. Sie ist durch die Gleichungen festgelegt. f(wj) = n (fB)kjwk, j = 1, . . . , n k=1 2 Berechne das charakteristische Polynom χf(x) = χfB (x). 3 Ermittle die m verschiedenen Nullstellen λj ∈ K. Folgende Möglichkeiten stehen zur Verfügung: • Nullstellen erraten oder erspüren, • Lösungsformel für die Nullstellen einer quadratischen Gleichung (Mitternachtsformel), • Satz von Vieta, • Polynomdivision, • Lösung für biquadratische Gleichungen ax 4 + bx 2 + c = 0. • Vielleicht kennt man Eigenwerte (Nullstellen) aufgrund spezieller Eigenschaften des Endomorphismus (Siehe nächste Kapitel: Endomorphismen in euklidischen Vektorräumen). 4 Ermittle für j = 1, . . . , m die algebraischen Vielfachheiten nj der Nullstellen λj. 5 5a n1 + . . . + nm < n ? Falls JA: χf zerfällt nicht vollständig in Linearfaktoren über K, d.h.: f ist nicht über K diagonalisierbar. ⊖ 5b n1 + . . . + nm = n ? Falls JA: χf zerfällt vollständig in Linearfaktoren über K: Schreibe χf als Produkt der Linearfaktoren: χf(x) = (x − λ1) n1 · . . . · (x − λk) nm . 6 Ermittle die geometrischen Vielfachheiten gj der Eigenwerte λj gj = dim ker(fB − λj) = n − Rang(fB − λj). Beachte, dass 1 ≤ gj ≤ nj gelten muss. 7 Die Frage der Diagonalisierbarkeit kann jetzt entschieden werden: 7a Stimmen für eine Nullstelle die beiden Vielfachheiten nj und gj nicht überein, so ist f nicht diagonalisierbar. ⊖
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