Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 78
(iv) =⇒ (ii): Dies ist einfach dann, wenn man den Trick kennt: Es sei Q ∈ P beliebig.
Dann ist auch der Punkt P , definiert durch
−→
AP = −→
AB − 〈−→ AB, −→
BQ〉
〈 −→ −→ ·
BQ, BQ〉 −→
BQ
in Q enthalten. Daher gilt mit (iv)
0 ≤ −→
AP 2 − −→
AB 2 = −→
AB − 〈−→ AB, −→
BQ〉
〈 −→ −→ ·
BQ, BQ〉 −→ 2 −→
BQ −
= −2 〈−→ AB, −→ 2
BQ〉
〈 −→ −→ +
BQ, BQ〉 〈−→ AB, −→ 2
BQ〉
〈 −→ −→ 2
BQ, BQ〉
· 〈 −→
BQ, −→
AB 2
〈
BQ〉 = − −→
AB, −→
BQ〉 2
〈 −→
BQ, −→
BQ〉 ≤ 0.
Daraus folgt aber 〈 −→
AB, −→
BQ〉 = 0 für alle Q ∈ Q.
Mit Hilfe des in diesem Satz beschriebenen Punktes kann man den Abstand eines Punktes
zu einem affinen Unterraum Q definieren.
Definition Ist Q ein affiner Unterraum von P und A ∈ P ein Punkt, so heißt
d(A, Q) := min{d(A, Q)|Q ∈ Q} = d(A, B) (B wie im Satz beschrieben )
der Abstand zwischen dem Unterraum Q und dem Punkt A.
6.3.2 Hyperebenen und Normalenvektoren
Es sei Q eine Hyperebene in P und U der zugehörige (n − 1)–dimensionale Unterraum
von V . Eine Orthonormalbasis B = {w1, . . . , wn−1} von U lässt sich durch einen Vektor
n zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen. Er ist bis auf einen Faktor ±1 eindeutig
bestimmt. Ein solcher Vektor n hat also die Länge 1 und steht senkrecht auf den Verbindungsvektoren
in Q, er heißt deshalb Normaleneinheitsvektor für Q.
Satz 48 Für den Abstand eines Punktes A ∈ P von einer Hyperebene Q gilt Ist Q ein
beliebiger Punk in der Hyperebene Q, so gilt für den
d(A, Q) = |〈n, −→
AQ〉|,
wobei Q ein beliebiger Punkt von Q ist.
Beweis Ist nämlich B ∈ Q der abstandsminimierende Punkt für A (vgl. oben), so stehen
sowohl n als auch −→
AB (gemäß obigem Satz) auf der Hyperebene Q senkrecht. Damit sind
sie aber linear abhängig. Mit Satz EU 2 (iii) (über die CSU) gilt dann
d(A, Q) = d(A, B) = −→
AB = n · −→
AB = |〈n, −→
AB〉|
= |〈n, −→
AB〉 + 〈n, −→ −→
BQ〉| = |〈n, AQ〉|.