Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 45
4.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
In diesem Abschnitt sei V ein n–dimensionaler K–Vektorraum, wobei K = R oder K = C.
Für eine Zahl λ ∈ K bezeichnen wir die lineare Abbildung λ·id : V → V, v ↦→ λ·v, einfach
mit λ. Sie wird bzgl. jeder Basis durch die λ–fache Einheitsmatrix λ · In dargestellt.
Definition Es sei f eine lineare Abbildung V → V .
(i) Man nennt λ ∈ K einen Eigenwert von f, wenn es einen Vektor v ∈ V \ {0} gibt,
so dass
erfüllt ist.
f(v) = λ · v
(ii) Der Vektor v ∈ V \ {0} heißt Eigenvektor von f (zum Eigenwert λ), wenn die
Beziehung f(v) = λ · v gilt.
(iii) Die Menge der Vektoren
Eig(f, λ) = {v ∈ V |f(v) = λ · v}
heißt der Eigenraum von f zum Eigenwert λ. Diese Menge besteht aus den Eigenvektoren
zum Eigenwert λ und dem Nullvektor.
Zeige: Der Eigenraum ist ein Unterraum (Abschnitt 3.5, LAL01).
(iv) Die Dimension des Eigenraums Eig(f, λ)
dim Eig(f, λ) = dim ker(f − λ)
LA 14
= n − Rang(f − λ)
(vgl. letzter Satz LA 14 in LAL01) heißt die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes
λ.
Satz 29 (ED 5: Charakterisierung von Eigenwerten) Es sei f : V → V ein Endomorphismus
und B eine Basis von V . Die folgenden Aussagen über eine Zahl λ ∈ K sind
äquivalent:
(i) Die Zahl λ ist Eigenwert von f.
(ii) Es gibt einen Vektor v ∈ V \ {0}, so dass
(f − λ)(v) = 0,
d.h. v liegt im Kern von f − λ.
(iii) Es gibt eine Lösung vB ∈ K n \ {0} des LGSs
(fB − λ)vB = 0.