Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 75
• Q1 = Q2 mit Q1 ∩ Q2 = ∅.
• Q1 = Q2 mit Q1 Q2,
• Q1 windschief zu Q2.
Betrachte als Beispiele Geraden und Ebenen im zwei— oder drei–dimensionalen Anschauungsraum.
Welche Fälle können dann gar nicht auftreten?
Wir können die Lösungsmengen von LGSen geometrisch beschreiben (Siehe auch Satz LA
6 aus LAL01).
Satz 46 (LGS–Lösungsmengen als affine Unterräume) Es sei
Ax = b
ein lineares Gleichungssystem mit einer reellen m×n–Matrix A und einem Vektor b ∈ R n .
Dann ist die Lösungsmenge L(A|b) genau dann nicht–leer, wenn
Rang(A|b) = Rang A.
Ist die Lösungsmenge nicht–leer, so bildet sie einen affinen Unterraum der Dimension
dim L(A|b) = n − Rang A.
Die Gleichung Ax = b heißt in diesem Zusammenhang auch einfach Die Gleichung des
affinen Unterraums.