Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 80 6.3.3 Isometrien Definition Eine Abbildung f : P → P in einem euklidischen affinen Raum heißt eine Isometrie oder Kongruenzabbildung, wenn d(f(P ), f(Q)) = d(P, Q) für alle P, Q ∈ P. Satz 49 (Isometrien) (i) Translationen sind Isometrien. (ii) Es sei D ∈ P, die beiden Abbildungen f : P → P und f ♯ : V → V seien durch die Beziehung f ♯ ( −→ DP ) = −−−−→ Df(P ) für alle P ∈ P wechselseitig definiert. Genau dann ist f eine Isometrie mit Fixpunkt D, wenn f ♯ orthogonal ist. (iii) Ist f eine Isometrie, so gibt es einen Vektor v und einen Punkt D ∈ P, so dass f = g ◦ τv, wobei g eine Isometrie mit D als Fixpunkt ist. Beweis (i) d(τv(P ), τv(Q)) = −−−−−−−→ τv(P )τv(Q) = −−−−→ τv(P )P + −→ P Q + −−−−→ τv(Q)Q = − v + −→ P Q + v = −→ P Q = d(P, Q). (ii) Es sei f eine Isometrie mit Fixpunkt D. Dann gilt für beliebiges v ∈ V , P := τv(D): f ♯ (v) = f ♯ ( −→ DP ) = −−−−→ Df(P ) = −−−−−−→ f(D)f(P ) = −→ DP = v, daraus folgt mit dem Satz über die Eigenschaften orthogonaler Abbildungen (Satz 36), dass f ♯ orthogonal ist. Ist umgekehrt eine Abbildung f ♯ mit der im Satz angegebenen Eigenschaft gegeben, so gilt: −−−−→ Df(D) = f ♯ ( −−→ DD) = f ♯ (0) = 0 =⇒ f(D) = D. Außerdem ist d(f(P ), f(Q)) = −−−−−−→ f(P )f(Q) = −−−−→ f(P )D + −−−−→ Df(Q) = − f ♯ ( −→ DP ) + f ♯ ( −→ DQ) = f ♯ ( −→ DQ − −→ DP ) = −→ DQ − −→ DP = −→ P Q = d(P, Q).
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 81 (iii) Wähle als Vektor Dann gilt: v := −−−−−−→ f −1 (D)D. f ◦ τ−v(D) = f ◦ f −1 (D) = D. Daraus folgt, dass g := f ◦ τ−v eine Isometrie mit Fixpunkt D ist.
Seite 1 und 2:
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Seite 3 und 4:
Seite 5 und 6:
Seite 7 und 8:
Seite 9 und 10:
Seite 11 und 12:
Seite 13 und 14:
Seite 15 und 16:
Seite 17 und 18:
Seite 19 und 20:
Seite 21 und 22:
Seite 23 und 24:
Seite 25 und 26:
Seite 27 und 28:
Seite 29 und 30: S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Seite 79: S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Seite 83: S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS
Alle anzeigen

Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?