Lineare Algebra 2 für Lehramtsstudierende (GS/HS/RS)

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S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 12 Definition: Es sei A eine quadratische Matrix. Die durch die Leibniz–Formel (Z) bzw. (S) definierte Zahl heißt Determinante der Matrix A. Die zugehörige Abbildung det : K n×n → K heißt Determinantenfunktion. Beispiele: • Im Fall n = 1 ist die Matrix A = (a) einfach eine Zahl. Es gilt det A = a. • Es sei n = 2 und A = a11 a12 a21 a22 . Dann gilt det A = n σ(π) · aj,π(j) = (+1) · a11a22 π∈S2 j=1 π=(1) = a11 · a22 − a12 · a21. • n = 3 und A = nämlich ⎛ ⎝ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎞ S3 = {(1), (1 2 3), (1 3 2), (1 2)(1 3), (2 3)}. Damit ergibt sich det(A) = + a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 − a12a21a33 − a13a31a22 − a23a32a11. + (−1) · a12a21 π=(1 2) ⎠. Die Gruppe S3 enthält sechs Permutationen, Diese Formel lässt sich graphisch durch die Regel von Sarrus repräsentieren: ⎛ ⎝ + + + − − − . . . . . a11 a12 a13 . a11 . a12 . . . . . . . . . . . a21 a22 . . a23 . . a21 . . a22 . . . . . . . . . . . . . a31 a32 a33 a31 a32 ⎞ ⎠
S. Hilger, Lineare Algebra 2 (GS/HS/RS) SS 2010 13 2.2 Eigenschaften Satz 6 (D1 Eigenschaften) Die Determinantenfunktion hat folgende Eigenschaften: (i) det ist linear in jeder einzelnen Zeile. Bezeichnen wir eine j–te Zeile mit aj = (aj1, . . . , ajn), so gilt für jedes ℓ ∈ {1, . . . , n}: ⎛ ⎜ det ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ det ⎜ ⎝ a1 . aℓ−1 aℓ + a ′ ℓ aℓ+1 . an a1 . aℓ−1 α · aℓ aℓ+1 . an ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ = det ⎜ ⎝ a1 . aℓ−1 aℓ aℓ+1 . an ⎛ ⎜ = α · det ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + det ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ a1 . aℓ−1 aℓ aℓ+1 . an (ii) Die Determinantenfunktion det ist alternierend in den Zeilen, d.h. sie wechselt bei der Vertauschung zweier Zeilen das Vorzeichen: ⎛ ⎜ det ⎜ ⎝ a1 . am . aℓ . an ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ = − det ⎜ ⎝ a1 . aℓ . am . an ⎞ ⎟ ⎠ (iii) det ist normiert, das heißt die Determinante der Einheitsmatrix I ist gleich 1 det I = 1. (iv) Ohne Beweis: Umgekehrt legen diese drei Eigenschaften die Determinantenfunktion eindeutig fest. ⎞ ⎟ ⎠ (v) Die gleichen Regeln gelten analog bzgl. der Spalten. a1 . aℓ−1 a ′ ℓ aℓ+1 . an ⎞ ⎟ ⎠
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