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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

100 Kapitel 7 E ● ●

100 Kapitel 7 E ● ● ● ● D ● ● C ● ● ● ● ● B ● ● A ● ● ● ● A B C D E Abb. 7.2. Aufgabe: Stellen Sie den Graphen G = M, R M = {1, 2, 3, 4, 5} R = {1,1,2,2,3,3,4,4,5,5} als Gitter dar. In ähnlicher Weise kann man die Elemente von MM als ein Netz von Quadraten darstellen, in dem die Elemente von R besonders gekennzeichnet werden. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Abb. 7.3. Graph als Gitter Aufgabe: Wie lautet der Graph, der Abbildung Abb. 7.3. zugrunde liegt? M = R = Am häufigsten werden Graphen jedoch wie in Abb. 7.4. dargestellt. Ist G = M, R ein Graph, so ordnet man jedem Elemente xi aus M einen Punkt (Kreis, Quadrat, Dreieck etc.) ai zu. Man erhält somit eine eineindeutige Abbildung von M auf eine Menge von Punkten (Kreisen, Quadraten, Dreiecken etc.). Jede Kante xi, xj aus R wird durch einen Pfeil dargestellt, der die den Elementen xi und xj zugeordneten Punkte f(xi) = ai und f(xj) = aj miteinander verbindet. Die so gewonnene Figur ist eine isomorphe Abbildung von G. Dabei können die den Knoten von G zugeordneten Punkte beliebig auf der Zeichenebene angeordnet werden. Eine besonders übersichtliche Darstellung erhält man allerdings, wenn man die Knoten nach ihrem GRAD anordnet:

Definition 7.4. Grad eines Knotens Grundbegriffe der Graphentheorie 101 Unter dem Grad eines Knotens soll die Anzahl der verschiedenen Kanten verstanden werden, in denen der Knoten als erstes oder zweites Element vorkommt. In dem der Abb. 7.4. zugrunde liegenden Graphen haben die Knoten folgende Grade: g(A) = 7, g(B) = 4, g(C) = 9, g(D) = 4, g(E) = 7 Jetzt kann man die Knoten z.B. vom nächsten zum niedrigsten Grad von oben nach unten anordnen. A C B D Abb. 7.4. Graphen haben verschiedene Eigenschaften, die von den Eigenschaften der Relationen abhängen. So ist ein Graph G symmetrisch, wenn R symmetrisch ist, asymmetrisch, wenn R asymmetrisch ist, und vollständig, wenn R konnex ist. Besonders wichtig für die Linguistik sind sog. Bäume. Definition 7.5. Baum Ein Graph G = M, R heißt Baum, wenn er folgende Eigenschaften hat: R ist asymmetrisch und intransitiv; es gibt genau einen Knoten k, zu dem es keinen Knoten x gibt, so daß x, k eine Kante aus R ist; dieser Knoten heißt WURZEL. Für beliebige Knoten x, y, z aus M gilt: wenn x, z eine Kante ist, dann ist y, z keine Kante und umgekehrt. Bedingung (2) besagt, daß es genau einen Knoten gibt, zu dem keine gerichteten Kanten hinführen. Bedingung (3) garantiert, daß zu allen anderen Knoten eine und nur eine Kante hinführt. Beispiel: M = { A, N, N',V, V',S} R = { N',A,N',N,V',V,S,N',S, V'} E

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