Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

38 Kapitel 3
Abtrennregel
Die am häufigsten verwendete Schlußregel ist die ABTRENNREGEL mit dem traditionellen
Namen modus ponens (genauer modus ponendo ponens) und hat die Form
(3.28.) p q
p
q
Die Gültigkeit dieses Schlusses setzt voraus, daß die Formel (p q) p q eine Tautologie
ist. Dies kann auf verschiedene Weise gezeigt werden.
1. Durch eine Wahrheitstafel
p q p q (p q) p (p q) p q
w w w w w
w f f f w
f w w f w
f f w f w
2. Indirekt durch die Annahme, daß die Formel nicht tautologisch sei, wobei die Berechnung
der Wahrheitswerte zu einem Widerspruch führt
( p q ) p q
w w w w w f f
Die Annahme, daß der Schluß keine Tautologie ist, führt zu dem Widerspruch, daß q
gleichzeitig wahr und falsch sein müßte.
3. Durch Vereinfachung mit Äquivalenztransformationen
Schritt Formel Äquivalenzregel
(1) (p q) p q) Konditional (8.a)
(2) [(p q) p] q De Morgan (7.b)
(3) [(p q) p] q Konditional (8.a)
(4) [( p q) p] q De Morgan (7.a)
(5) [( p q) p] q Negation (6.b)
(6) [(p q) p] q Kommutativität (3.a)
(7) [ p(p q)] q Distributivität (4.a)
(8) [( p p)( p q)] q Kommutativität (3.a)
(9) q[( p p)( p q) ] Distributivität (4.a)
(10) [q ( p p)] [q( p q)] Assoziativität
(11) (q p p) (q p q) Kommutativität
(12) (q p p) ( p q q) Komplementarität (6.a)
(13) (q W) ( p W) Identität (5.b)
(14) (q W) W Identität (5.d)
(15) q W Identität (5.b)
(16) W
4. Überführung in konjunktive Normalform. Das ist fast identisch mit dem vorherigen
Verfahren. Zeile (11) ist bereits in KNF.