Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mit den Äquivalenzen
1. (P Q) P Q
Grundbegriffe der Aussagenlogik 27
2. P P
läßt sich die Konjunktion durch die Disjunktion und umgekehrt die Disjunktion durch die
Konjunktion ersetzen.
1. (p q)
2. (p q) mit {p/p, q/q}
3. ((p q)) mit (P Q) P Q, wenn P = p und Q = q
4. p q, wegen P P, wenn P =p q
Damit ist auch gezeigt, daß (P Q) P Q, und zwar auf rein syntaktischem Weg,
ohne die Wahrheitswerte einzeln zu prüfen.
Die beiden Äquivalenzen
(3.20.) (a) (P Q) P Q und
(b) (P Q) P Q
die mithilfe der Negation einen systematischen Zusammenhang zwischen der Konjunktion
und der Disjunktion herstellen, sind als die Gesetze von De Morgan bekannt.
Äquivalenzen zwischen Ausdrücken lassen sich auch per Definition einführen, wobei jedoch
gleichzeitig zusätzliche syntaktische Mittel eingeführt werden. Man betrachte beispielsweise
den Fall der wechselseitigen Implikation Wenn p dann q, und wenn q dann p: p q q p.
Diese Formel hat folgende Wahrheitswerte:
p q q p
w w w w w w w
w f f f f w w
f w w f w f f
f w f w f w f
Sie hat eine besondere Eigenschaft insofern sie genau dann wahr ist, wenn die elementaren
Teilaussagen jeweils den gleichen Wahrheitswert aufweisen. Es ist daher sinnvoll, sie als
eigenständige Wahrheitsfunktion zu betrachten und durch einen eigenen Funktor zu
bezeichnen. Die Funktion P Q wird BIKONDITIONAL aber auch ÄQUIVALENZ genannt. 16
Definition 3.11. Bikonditional (Äquivalenz)
Das BIKONDITIONAL (die ÄQUIVALENZ) ist definiert durch:
P Q : P Q Q P
Sind P und Q logische Formeln, so ist das BIKONDITIONAL P Q eine WAHRE
Aussage, wenn P und Q den gleichen Wahrheitswert haben, andernfalls ist es eine
FALSCHE Aussage. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle:
16 Die Formeln P Q und P Q hängen zwar miteinander zusammen, sind jedoch verschieden zu
interpretieren. P Q behauptet, daß P und Q unter den gleichen Bedingungen wahr oder falsch sind, d.h. daß
f(P)=f(Q), wenn f eine Bewertungsfunktion ist. Für dir Formel P Q hingegen gilt, daß sie genau dann wahr
ist, wenn P und Q den gleichen Wahrheitswert haben, d.h. f(P Q)=
w gdw f(P)
f, sonst
f(Q)