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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

26 Kapitel 3 Wie die

26 Kapitel 3 Wie die Spalte 8 zeigt ist die Aussagenfunktion unter jeder Interpretation ihrer Variablen wahr und daher eine Tautologie. Was geschieht nun aber, wenn wir die zweite Prämisse und die Konklusion jeweils durch ihre Negation ersetzen, d.h. durch Die Regierung wird Lösegeld zahlen bzw. Die Terroristen werden ihre Opfer nicht töten? (p q) p q w w w w w f f w w w f w w w w f f w w f f w f w f f f f f w w f Schritte 1 5 2 6 3 8 7 4 Wie die Spalte 8 zeigt, ist dies kein gültiger Schluß. 3.5.7. LOGISCHE ÄQUIVALENZ Verschiedene aussagenlogische Ausdrücke (Formeln) können hinsichtlich ihres wahrheitsfunktionalen Verhaltens miteinander verglichen werden. Dabei interessieren insbesondere solche Ausdrücke, die unter den gleichen Bedingungen wahr oder falsch sind. Solche Ausdrücke heißen LOGISCH ÄQUIVALENT. Definition 3.10. logisch äquivalent Zwei aussagenlogische Formeln P und Q heißen LOGISCH ÄQUIVALENT (symbolisch: P Q) genau dann, wenn sie unter den gleichen Bedingungen wahr oder falsch sind, d.h. wenn sie für jede konsistente Bewertung ihrer Elementaraussagen stets den gleichen Wahrheitswert haben. Mit anderen Worten: äquivalente Formeln haben die gleichen Wahrheitstafeln. Die Äquivalenz setzt normalerweise voraus, daß die Formeln aus den gleichen elementaren Aussagen zusammengesetzt sind. Mit konsistenter Bewertung ist gemeint, daß in beiden Formeln einer Elementaraussage nicht verschiedene Wahrheitswerte zugewiesen werden dürfen. Beispielsweise sind die Ausdrücke (p q) und p q logisch äquivalent, d.h. es gilt (p q) p q. Der Nachweis erfolgt durch Berechnung der Wahrheitstafeln. p q p q (p q) p q p q w w w f f f f w f w f f w f f w w f w f f f f f w w w w Daraus ist ersichtlich, daß (p q) und p q in der Tat die gleichen Wahrheitstafeln besitzen. Durch diese Äquivalenz wird ein systematischer Zusammenhang zwischen Negation, Konjunktion und Disjunktion hergestellt, wenn man noch berücksichtigt, daß P und P (= (P))äquivalente Ausdrücke sind. Die Äquivalenz von Ausdrücken ist ein ganz entscheidendes Mittel, um systematische formale Zusammenhänge zwischen logischen Ausdrücken darzustellen. Da äquivalente Ausdrücke die gleichen Wahrheitstafeln haben, können Teilausdrücke einer komplexen Formel durch beliebige äquivalente Ausdrücke ersetzt werden, ohne daß sich der Wahrheitswert des Gesamtausdrucks ändert. Auf diese Weise können dann Äquivalenzen zwischen Ausdrücken durch rein formale, syntaktische Operationen aufgezeigt werden.

Mit den Äquivalenzen 1. (P Q) P Q Grundbegriffe der Aussagenlogik 27 2. P P läßt sich die Konjunktion durch die Disjunktion und umgekehrt die Disjunktion durch die Konjunktion ersetzen. 1. (p q) 2. (p q) mit {p/p, q/q} 3. ((p q)) mit (P Q) P Q, wenn P = p und Q = q 4. p q, wegen P P, wenn P =p q Damit ist auch gezeigt, daß (P Q) P Q, und zwar auf rein syntaktischem Weg, ohne die Wahrheitswerte einzeln zu prüfen. Die beiden Äquivalenzen (3.20.) (a) (P Q) P Q und (b) (P Q) P Q die mithilfe der Negation einen systematischen Zusammenhang zwischen der Konjunktion und der Disjunktion herstellen, sind als die Gesetze von De Morgan bekannt. Äquivalenzen zwischen Ausdrücken lassen sich auch per Definition einführen, wobei jedoch gleichzeitig zusätzliche syntaktische Mittel eingeführt werden. Man betrachte beispielsweise den Fall der wechselseitigen Implikation Wenn p dann q, und wenn q dann p: p q q p. Diese Formel hat folgende Wahrheitswerte: p q q p w w w w w w w w f f f f w w f w w f w f f f w f w f w f Sie hat eine besondere Eigenschaft insofern sie genau dann wahr ist, wenn die elementaren Teilaussagen jeweils den gleichen Wahrheitswert aufweisen. Es ist daher sinnvoll, sie als eigenständige Wahrheitsfunktion zu betrachten und durch einen eigenen Funktor zu bezeichnen. Die Funktion P Q wird BIKONDITIONAL aber auch ÄQUIVALENZ genannt. 16 Definition 3.11. Bikonditional (Äquivalenz) Das BIKONDITIONAL (die ÄQUIVALENZ) ist definiert durch: P Q : P Q Q P Sind P und Q logische Formeln, so ist das BIKONDITIONAL P Q eine WAHRE Aussage, wenn P und Q den gleichen Wahrheitswert haben, andernfalls ist es eine FALSCHE Aussage. Dem entspricht folgende Wahrheitstabelle: 16 Die Formeln P Q und P Q hängen zwar miteinander zusammen, sind jedoch verschieden zu interpretieren. P Q behauptet, daß P und Q unter den gleichen Bedingungen wahr oder falsch sind, d.h. daß f(P)=f(Q), wenn f eine Bewertungsfunktion ist. Für dir Formel P Q hingegen gilt, daß sie genau dann wahr ist, wenn P und Q den gleichen Wahrheitswert haben, d.h. f(P Q)= w gdw f(P) f, sonst f(Q)

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