Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

28 Kapitel 3
P Q P Q
w w w
w f f
f w f
f f w
Deutsche Ausdrücke, die dem Bikonditional entsprechen, sind dann und nur dann wenn, genau
dann wenn, gerade dann wenn und ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für.
Durch derart definitorisch eingeführte Äquivalenzen werden keine neuen Erkenntnisse
gewonnen, aber die Ausdrucksfähigkeit der Sprache erweitert.
In ähnlicher Weise ließe sich das Konditional per Definition einführen, wobei gilt
P Q P Q:
P Q P P Q P Q
w w f w w
w f f f f
f w w w w
f f w w w
Es wurde schon darauf hingewiesen, daß eine Voraussetzung für die Äquivalenz von
Ausdrücken ist, daß sie aus den gleichen Elementaraussagen aufgebaut sind. Beispielsweise
können p q und p r nicht logisch äquivalent sein. Hingegen sind die Ausdrücke
p (q q) und p (r r) jedoch logisch äquivalent, wie eine Berechnung der Wahrheitswerte
zeigen würde, obwohl sie aus verschiedenen Elementaraussagen gebildet sind.
Dies hängt damit zusammen, daß q q und r r beides Tautologien sind und somit
unabhängig von den Wahrheitswerten von q und r stets genau den gleichen Beitrag für die
Berechnung der Wahrheitswerte des Gesamtausdrucks leisten. Wir können allgemein sagen,
daß zwei beliebige Tautologien oder zwei beliebige Kontradiktionen logisch äquivalent sind,
selbst wenn sie nicht dieselben Elementaraussagen enthalten, da ihre Wahrheitswerte ja
unabhängig von diesen Elementaraussagen sind.
Wie bereits ausgeführt sind logisch äquivalente Ausdrücke in der Logik von großer
Bedeutung, da sie in jedem Ausdruck beliebig füreinander ersetzt werden können, ohne
dessen Wahrheitsgehalt zu ändern. Dadurch wird es möglich, aus Ausdrücken auf rein
syntaktischem Wege neue äquivalente Ausdrücke zu bilden.
In der logischen Praxis hat es sich als nützlich erwiesen, ein Grundinventar von logischen
Äquivalenzen quasi als Grundgesetze zur Verfügung zu haben, aus denen alle anderen
abgeleitet werden können (vgl. Tabelle Abb. 3.3.). Diese Tabelle enthält gewisse Redundanzen,
insofern gewisse Äquivalenzen aus anderen abgeleitet werden können.
Idempotenz und Komplementarität
Die Gesetze für die IDEMPOTENZ und KOMPLEMENTARITÄT ergeben sich aus den folgenden
Wahrheitstafeln:
P P P P P P P P P P P
w w w f w w f
f f f w f w f