Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik
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(4.12.) (a) Ein Pferd ist ein Säugetier o<strong>der</strong><br />
(b) Pferde sind Säugetiere<br />
Gr<strong>und</strong>begriffe <strong>der</strong> Prädikatenlogik 49<br />
Die Bedeutung dieser Aussage läßt sich etwa wie folgt umschreiben<br />
(4.13.) Wenn etwas ein Pferd ist, dann ist es auch ein Säugetier.<br />
Dabei sind etwas <strong>und</strong> es die umgangssprachliche Wie<strong>der</strong>gabe von VARIABLEN, die für<br />
beliebige Individuen eines Individuenbereichs stehen. Die Ausdrücke etwas ist ein Pferd bzw.<br />
es ist ein Säugetier werden wie folgt symbolisiert<br />
(4.14.) (a) Pferd(x)<br />
(b) Säugetier(x)<br />
Solche Ausdrücke bezeichnet man als Aussagenformen. Dabei ist x eine Leerstelle, in die eine<br />
Individuenkonstante (z.B. Halla) eingesetzt werden kann. Man nennt solche Leerstellen<br />
INDIVIDUENVARIABLEN.<br />
Definition 4.1. Aussageform<br />
Eine Aussageform ist ein Ausdruck, <strong>der</strong> bei Ersetzung <strong>der</strong> Individuenvariablen<br />
durch Individuenkonstanten in eine Aussage übergeht.<br />
Die Formulierung (4.13) zeigt, daß in (4.9) sozusagen die folgende Implikation steckt:<br />
(4.15.) Pferd(x) Säugetier(x)<br />
Das ist noch keine Aussage, son<strong>der</strong>n ebenfalls eine Aussageform. Sie wird zu einer Aussage<br />
dadurch, daß die Individuenvariable durch eine Individuenkonstante ersetzt wird, z.B.:<br />
(4.16.) (a) Pferd(Halla) Säugetier(Halla)<br />
(b) Pferd(Nimrod) Säugetier(Nimrod)<br />
Die Aussagenform (4.15) wird zu einer Aussage auch durch den Zusatz, daß sie für jedes<br />
beliebige x gelten soll. Das kommt auch durch die folgenden Paraphrasen von (4.9.) zum<br />
Ausdruck:<br />
(4.17.) (a) Jedes Pferd ist ein Säugetier<br />
(b) Alle Pferde sind Säugetiere<br />
Dafür kann man formeller sagen:<br />
(4.18.) Für alle (jedes) x gilt: wenn x ein Pferd ist, dann ist x auch ein Säugetier<br />
Der Ausdruck für alle (jedes) x gilt wird durch x symbolisiert. Der Ausdruck x wird<br />
ALLQUANTOR genannt. 18<br />
Dieses Zeichen kann als ein großes Konjunktionszeichen aufgefaßt werden, denn <strong>der</strong><br />
Allquantor kann als "Summierung" einer Konjunktion von Elementaraussagen aufgefaßt<br />
werden:<br />
x=an<br />
x p(x) = p(a1) p(a2) … p(an).<br />
x=a1<br />
Eine Aussageform wie (4.9.) wird zu einer Aussage, wenn man sie durch einen Quantor<br />
“bindet”. Dabei wird <strong>der</strong> Quantor vor die Aussageform gestellt, auf die er sich bezieht:<br />
(4.19.) x (Pferd(x) Säugetier(x))<br />
18 Es gibt an<strong>der</strong>e Konventionen zur Wie<strong>der</strong>gabe von "für alle x gilt P", z.B. (x)P <strong>und</strong> x P.
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