Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

24 Kapitel 3
3.5.6. TAUTOLOGIE UND KONTRADIKTION
Eine wesentliche Aufgabe der Aussagenlogik ist die Untersuchung der Wahrheitswerte von
komplexen Aussagenverbindungen. Dabei interessieren vor allem zwei Fälle:
1. Aussagenverbindungen, die immer wahr sind, gleichgültig, welchen Wahrheitswert die
Einzelaussagen haben; diese Aussagenverbindungen werden TAUTOLOGISCH genannt.
2. Aussagenverbindungen, die immer falsch sind; sie werden KONTRADIKTORISCH genannt.
Definition 3.7. Tautologie
Eine Aussagenverbindung ist eine TAUTOLOGIE, wenn sie unter allen Interpretationen
wahr ist.
Definition 3.8. Kontradiktion
Eine Aussagenverbindung ist eine KONTRADIKTION, wenn sie unter allen
Interpretationen falsch ist.
Definition 3.9. erfüllbar
Aussagenverbindungen, die weder tautologisch noch kontradiktorisch sind, heißen
ERFÜLLBAR oder KONTINGENT.
Eine einfache Tautologie ist z.B.
(3.13.) a. Es ist nicht der Fall, daß Hans dumm ist und nicht dumm ist.
b. (p p)
Dagegen ist der folgende Satz eine Kontradiktion:
(3.14.) a. Hans ist ehrlich und unehrlich.
b. p p
Das ist leicht einzusehen. Eine Konjunktion ist nur wahr, wenn beide Konjunktionsglieder
wahr sind. Ist p wahr, dann ist p falsch; ist p falsch, dann ist p wahr. Folglich ist p p
immer falsch und (p p) immer wahr. Dies wird auch in der expliziten Berechnung mit
Wahrheitsfunktionen deutlich:
(p p)
w w f f w
w f f w f
Die Kontradiktion der Form p p spielt in der Beweisführung der Mathematik eine große
Rolle. Das Verfahren besteht darin, daß man das Gegenteil der zu beweisenden Aussage
annimmt und zeigt, daß diese Annahme zu einem Widerspruch führt (reduction ad
absurdum). Nach dem gleichen Verfahren läßt sich auch beweisen, ob eine Aussagenverbindung
eine Tautologie bzw. eine Kontradiktion ist.
Es soll z.B. gezeigt werden, daß die folgende Aussagenverbindung eine Tautologie ist:
(3.15.) (p q q r) (p r)
(Wenn gilt 'p impliziert q' und 'q impliziert r', dann gilt auch p impliziert r.)
Man kann den Beweis dadurch antreten, daß man sämtliche Wahrheitswertkombinationen
durchrechnet (das wären immerhin acht Fälle). Das entspricht dem wissenschaftlichen
Verfahren der VERIFIKATION. Man kann die Behauptung aber auch zu falsifizieren versuchen.