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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

96 Kapitel 6 Wie Abb.

96 Kapitel 6 Wie Abb. 6.9. zeigt, besteht nicht zwischen allen Elementen die Teilmengenbeziehung. So ist weder {1, 2} in {1, 3} noch {1, 3} in {1, 2} enthalten. Die Menge P(A) ist daher bezüglich der Teilmengenbeziehung nur unvollständig geordnet. Eine Ordnungsrelation ist VOLLSTÄNDIG, wenn sie KONNEX ist: Definition 6.28. Konnex Eine Relation R ist konnex, wenn gilt: xy [xy R(x, y) R(y, x)] Definition 6.29. Vollständige Ordnungsrelation Eine Ordnungsrelation ist vollständig, wenn sie konnex ist. Definition 6.30. Ordnung, Kette Eine Halbordnung ist eine (vollständige oder lineare) ORDNUNG oder eine KETTE, wenn ihre Ordnungsrelation vollständig ist. So ist z.B. die Relation nicht größer als eine vollständige Ordnungsrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen. Beispiel: Sei A = {1, 2, 3, 4} Die Ordnung von A läßt sich graphisch darstellen, indem man jedem Element aus A einen Punkt zuordnet und die einem Elementenpaar x, y zugeordneten Punkte mit einem Pfeil verbindet, wenn R(x, y) gilt: 4 2 3 1 Abb. 6.10. Ordnung einer Menge Abb. 6.10. ist die graphische Repräsentation der Ordnungsstruktur der Menge A bezüglich der Ordnungsrelation nicht größer als. Die Bezeichnungen LINEARE ORDNUNG und KETTE werden einleuchtender, wenn man Abb. 6.10. vereinfacht und anders anordnet. Wir lassen die Ringpfeile weg (Kennzeichen der Reflexivität) und alle Pfeile, die Transitivität anzeigen; wir ordnen die Punkte so an, daß alle Pfeile in die gleiche Richtung weisen: 1 2 3 4 Abb. 6.11.

Systeme und Strukturen 97 Abb. 6.12. Nun gibt es auch Relationen, die von vornherein nicht reflexiv sondern irreflexiv sind: Definition 6.31. Irreflexiv Eine Relation R ist irreflexiv, wenn gilt: x R(x,x) Eine irreflexive Relation kann nicht antisymmetrisch sein. Sie ist entweder unsymmetrisch oder asymmetrisch. Definition 6.32. Strikte Ordnungsrelation Eine Relation ist eine strikte Ordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und transitiv ist. Beispiele für strikte Ordnungsrelationen sind: größer als, kleiner als, echte Teilmenge von, Vorgänger von. 6.7. Operationen Man kann OPERATIONEN als eine besondere Art von Relationen auffassen, wobei Elemente aus einer Menge M so miteinander verknüpft werden, daß wieder ein Element aus M entsteht. Bekannte Beispiele für Operationen sind die Addition und Multiplikation in der Menge der Zahlen. Dabei werden zwei Zahlen einer dritten zugeordnet, z.B. 1 + 2 = 3, 23 = 6, oder allgemein: x + y = z bzw. xy = z. Andere Operationen sind die Verknüpfungen von Aussagen zu neuen Aussagen in der Aussagenlogik und die Verknüpfung von Mengen zu neuen Mengen in der Mengentheorie. Die allgemeine Form einer Operation ist (6.16.) (x1,…, xn) = y Je nachdem wieviele Elemente an der Operation beteiligt sind, müssen ein- und mehrstellige Operationen unterschieden werden. Ein Beispiel für eine einstellige Operation ist die Negation in der Aussagenlogik, die einer Aussage p die Aussage p zuordnet: Zweistellige Operationen schreibt man meist in der Form (6.17.) x1x2 = y Es wurde bereits gesagt, daß man Operationen als besondere Art von Relationen auffassen kann. Sei xy = z eine zweistellige Operation auf einer Menge M. Dann ordnet die Operation das Paar x, y einem z zu derart, daß z = xy. Man kann eine Operation daher entweder als eine zweistellige Relation R(x, y, z) darstellen, oder was das gleiche bedeutet — als dreistellige Relation R(x, y, z). Allgemein ist dann eine n-stellige Operation eine zweistellige Relation mit einem n-tupel und einem weiteren Element R(x1,…, xn,y) bzw. eine n+1-stellige Relation R(x1,…, xn,y). Die Menge aller Paare x, y mit x, y M ist die Paarmenge MM. Man kann eine zweistellige Operation in M daher auch auffassen als eine Abbildung von der Menge MM in die Menge M: f:MM↦M

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