Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Systeme und Strukturen 97
Abb. 6.12.
Nun gibt es auch Relationen, die von vornherein nicht reflexiv sondern irreflexiv sind:
Definition 6.31. Irreflexiv
Eine Relation R ist irreflexiv, wenn gilt:
x R(x,x)
Eine irreflexive Relation kann nicht antisymmetrisch sein. Sie ist entweder unsymmetrisch
oder asymmetrisch.
Definition 6.32. Strikte Ordnungsrelation
Eine Relation ist eine strikte Ordnungsrelation, wenn sie asymmetrisch und
transitiv ist.
Beispiele für strikte Ordnungsrelationen sind: größer als, kleiner als, echte Teilmenge von,
Vorgänger von.
6.7. Operationen
Man kann OPERATIONEN als eine besondere Art von Relationen auffassen, wobei Elemente
aus einer Menge M so miteinander verknüpft werden, daß wieder ein Element aus M entsteht.
Bekannte Beispiele für Operationen sind die Addition und Multiplikation in der Menge der
Zahlen. Dabei werden zwei Zahlen einer dritten zugeordnet, z.B. 1 + 2 = 3, 23 = 6, oder
allgemein: x + y = z bzw. xy = z.
Andere Operationen sind die Verknüpfungen von Aussagen zu neuen Aussagen in der
Aussagenlogik und die Verknüpfung von Mengen zu neuen Mengen in der Mengentheorie.
Die allgemeine Form einer Operation ist
(6.16.) (x1,…, xn) = y
Je nachdem wieviele Elemente an der Operation beteiligt sind, müssen ein- und mehrstellige
Operationen unterschieden werden. Ein Beispiel für eine einstellige Operation ist die
Negation in der Aussagenlogik, die einer Aussage p die Aussage p zuordnet:
Zweistellige Operationen schreibt man meist in der Form
(6.17.) x1x2 = y
Es wurde bereits gesagt, daß man Operationen als besondere Art von Relationen auffassen
kann. Sei xy = z eine zweistellige Operation auf einer Menge M. Dann ordnet die Operation
das Paar x, y einem z zu derart, daß z = xy. Man kann eine Operation daher entweder als
eine zweistellige Relation R(x, y, z) darstellen, oder was das gleiche bedeutet — als
dreistellige Relation R(x, y, z). Allgemein ist dann eine n-stellige Operation eine zweistellige
Relation mit einem n-tupel und einem weiteren Element R(x1,…, xn,y) bzw. eine
n+1-stellige Relation R(x1,…, xn,y).
Die Menge aller Paare x, y mit x, y M ist die Paarmenge MM. Man kann eine
zweistellige Operation in M daher auch auffassen als eine Abbildung von der Menge MM in
die Menge M:
f:MM↦M