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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

44 Kapitel 3 Der Schluß

44 Kapitel 3 Der Schluß ist jedoch auch intuitiv einsichtig: Ist p wahr, dann muß p falsch sein. Wenn nach Voraussetzung aber p r wahr sein soll, und p aber falsch ist, dann muß r wahr sein. Ist andererseits aber p falsch, dann muß wenn p q wahr sein soll, q wahr sein. Nimmt man beide Möglichkeiten zusammen, so ergibt sich q r. Man kann das Schlußschema des Modus Tollendo Ponens als Sonderfall der Resolution auffassen: (3.41.) p q p q Mit anderen Worten, die Resolution von p q und p hat als Resolvente q. (1) p q Prämisse (2) p Prämisse (3) p F Addition (4) q F Resolution (5) q Identität Ein weiterer Sonderfall ist die Resolution von p und p, die zum Widerspruch führt. Man könnte wie folgt argumentieren: (1) p Prämisse (2) p Prämisse (3) p F Addition (4) p F Addition (5) F F (3),(4) Resolution (6) F Idempotenz Man bezeichnet die Resolvente von p und p mit . Voraussetzung für die fruchtbare Anwendung des Resolutionsschemas ist, daß alle Prämissen Klauselform haben, d.h. Disjunktionen von Literalen sind. Dazu müssen Formeln gegebenenfalls in die konjunktive Normalform übersetzt werden. Die einzelnen Klauseln einer Konjunktion werden zu selbständigen Prämissen (Vereinfachunsschema). Das Beweisverfahren ist das des indirekten Beweises, d.h. die Negation der zu beweisenden Aussage wird zu den Prämissen hinzugenommen. Es wird dann das Resolutionsschema auf Paare von Aussagen angewandt und die Resolvente zur Aussagenmenge hinzugefügt, solange bis ein Widerspruch entsteht oder die Resolution nicht mehr angewandt werden kann. Prämissen Übersetzt in Klauselform p q (1) p q q r (2) q r r (3) r (4) p Indirekter Beweis (5) q (2),(3) Resolution (6) p (1),(5) Resolution (7) (5),(6) Resolution Das Verfahren zum Beweis einer Aussage p nach dem Resolutionsprinzip auf der Grundlage einer Aussagenmenge P kann wie folgt beschrieben werden:

Grundbegriffe der Aussagenlogik 45 1. Übersetze alle Aussagen aus P in Klauselform. Die so erhaltene Klauselmenge sei K. 2. Negiere p, übersetze das Resultat in Klauselform und füge das Ergebnis zur Klauselmenge K hinzu. 3. Wiederhole die folgenden Schritte solange, bis eine Kontradiktion gefunden ist, oder erkennbar ist, daß kein Ergebnis erzielbar ist. a) Wähle zwei Klauseln K1 und K2 aus der jeweils gültigen Klauselmenge Kn derart, daß es ein Literal L gibt, das in einer der beiden Kauseln positiv, in der anderen negativ vorkommt. b) Bilde die Resolvente R aus K1 und K2. c) Wenn R = , dann ist ein Widerspruch gefunden worden. Andernfalls füge R zur Klauselmenge Kn hinzu. Nehmen wir als weiteres Beispiel die Aufgabe von Seite. LITERATUR Prämissen Übersetzt in Klauselform B K C (1) B K C (K E) (C b) (2) K E (3) C b E B (4) E (5) B (6) C Ind. Bew. (7) K C (1),(5) (8) K (2),(4) ALLWOOD, JENS/ANDERSSON, LARS-GUNNAR/DAHL, ÖSTEN (9) C (7),(8) (10) (6),(9) (Kontrad.) 1973 Logik für Linguisten. Ins Deutsche übersetzt von Michael Grabski. (= Romanistische Arbeitshefte 8.) Max Niemeyer Verlag: Tübingen. GENESERETH, MICHAEL R. / NILSSON NILS J. 1987 Logical Foundations of Artificial Intelligence. Morgan Kaufmann Publishers: Los Altos, CA. HERINGER, HANS JÜRGEN 1972 Formale Logik und Grammatik. (= Germanistische Arbeitshefte 6.) Max Niemeyer Verlag: Tübingen. MCCAWLEY JAMES D. 1981 Everything that Linguists have always Wanted to Know about Logic but were ashamed to ask. Basil Blackwell: Oxford. PARTEE, BARBARA HALL 1978 Fundamentals of Mathematics for Linguistics. D. Reidel Publishing Company: Dordrecht/ London. PARTEE, BARBARA H./TER MEULEN, ALICE/WALL, ROBERT E. 1990 Mathematical Methods in Linguistics. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht/ Boston/London. [Entstanden aus PARTEE (1978) und WALL (1973)]

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