Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

30 Kapitel 3
Kommutativität
Die Gesetze der KOMMUTATIVITÄT ergeben sich eigentlich aus der Definition von
Konjunktion und Disjunktion:
f(P Q)=
w, gdw f(P) w und f(Q) w
f,
sonst
gleichgültig ob man {P/p, Q/q} oder {P/q, Q/p} substituiert.
Distributivgesetz
Das DISTRIBUTIVGESETZ 4.a. wird durch die folgenden Wahrheitstafeln verifiziert.
Gesetze der Identität
P Q R Q R P (Q R) P Q P R (P Q) (P R)
w w w w w w w w
w w f f w w w w
w f w f w w w w
w f f f w w w w
f w w w w w w w
f w f f f w f f
f f w f f f w f
f f f f f f f f
Die Gesetze der IDENTITÄT ergeben sich wiederum aus der Definition von Konjunktion und
Disjunktion.
f(P Q)=
und
w, gdw f(P) w und f(Q) w
f,
sonst
f(P Q)=
f,
dw f(P) f und f(Q)
w, sonst
f
Für die Konjunktion gilt somit: ist Q eine Kontradiktion (F), so ist die Konjunktion immer
falsch, gleichgültig welchen Wert P hat. Ist Q hingeben eine Tautologie (W), so ist der
Wahrheitswert der Konjunktion ausschließlich von P abhängig.
Für die Disjunktion gilt: ist Q eine Tautologie (W), so ist die Disjunktion immer wahr,
gleichgültig welchen Wert P hat. Ist Q hingegen eine Kontradiktion (F), so ist der
Wahrheitswert der Disjunktion ausschließlich von P abhängig.
Gesetze für das Konditional
Das Gesetz 8.a. ist bereits auf S. 28 durch Wahrheitstafeln verifiziert worden. Die übrigen
Gesetze lassen sich durch Umformung ableiten, z.B.: