Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Grundbegriffe der Prädikatenlogik 65
{x/f(y){x/a, y/b, z/y}, y/z{x/a, y/b, z/y}, x/a, y/b, z/y}
x/f(b) y/y
Die unterstrichenen Terme fallen weg, also gilt: = {x/f(b), z/y}
Definition 4.25. leere Substitution
Die LEERE SUBSTITUTION ist durch die leere Menge { } gegeben und wird mit
bezeichnet. Ist ein Ausdruck, so gilt =.
Definition 4.26. Varianten
Seien und Ausdrücke. und sind VARIANTEN, wenn es zwei Substitution
und gibt derart, daß = und =. Man sagt sei eine Variante von und
umgekehrt.
Beispiel: p(f(x,y), g(z),a) ist eine Variante von p(f(y,x), g(u),a). Dabei ist ={y/x, x/y, u/z} und
={x/y, y/x, z/u}.
Varianten lassen sich durch Umbenennung der Variablen in einander überführen.
Von besonderem Interesse sind Substitutionen, die eine Menge von Ausdrücken gleich
machen (UNIFIZIEREN).
Definition 4.27. unifizierbar
Eine Menge von Ausdrücken {1,…,n} heißt UNIFIZIERBAR, wenn es eine
Substitution gibt, welche alle Ausdrücke gleich macht, d.h. 1=…=n.
Beispiel: die Substitution {x/A, y/B, z/C} unifiziert die Ausdrücke P(A,y,z) und P(x,B,z) mit
dem Ergebnis P(A,B,C)
P(A,y,z){x/A, y/B, z/C}=P(A,B,C)=P(x,B,z){x/A,y/B, z/C}
Definition 4.28. Unifikator
Eine Substitution heißt UNIFIKATOR für eine Menge von Ausdrücken {1,…,n}
falls diese dadurch unifiziert werden, d.h. wenn gilt {1,…,n}={} wobei
= 1 = … = n.
Obwohl die Substitution {x/A, y/B, z/C} die beiden Ausdrücke P(A,y,z) und P(x,B,z)
unifiziert, ist sie nicht der einzige Unifikator. Da die Variable z in beiden Ausdrücken an der
gleichen Argumentstelle vorkommt, muß sie nicht substituiert werden, um die Gleichheit zu
erreichen. Mit der Substitution {x/A, y/B} wären die Ausdrücke ebenfalls unifizierbar
gewesen.
P(A,y,z){x/A, y/B}=P(A,B,z)=P(x,B,z){x/A,y/B}
Der Unifikator {x/A, y/B} ist allgemeiner als der Unifikator {x/A, y/B, z/C}. Intuitiv ist ein
Unifikator umso allgemeiner, je weniger Variable bei der Unifikation substituiert werden. Die
Substitution {z/F(w)} ist allgemeiner als {z/F(C)}. Eine Substitution ist allgemeiner als eine
Substitution gdw. es eine andere Substitution gibt derart, daß =. Im Beispiel:
{z/F(w)}{w/C}={z/F(C)}.
Definition 4.29. allgemeinster Unifikator
Sei S eine endliche Menge von einfachen Ausdrücken. Ein Unifikator für S heißt
ALLGEMEINSTER UNIFIKATOR für S (engl. most general unifier (mgu)), wenn es für
jeden weiteren Unifikator von S eine Substitution gibt derart, daß =.