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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

98 Kapitel 6 Allgemein

98 Kapitel 6 Allgemein ist dann eine n-stellige Operation eine Abbildung von der n-tupel-Menge M n (M n ist definiert als M n = MM n–1 ) in M: Die Struktur eines Systems, das aus einer Menge M und einer Menge O von in M definierten Operationen besteht, heißt ALGEBRAISCHE STRUKTUR. Ein System mit einer algebraischen Struktur kann man entsprechend ALGEBRAISCHES SYSTEM nennen. Algebraische Systeme sind z.B. das Zahlensystem, die Aussagenlogik und die Mengentheorie. Durch die Kombination von Ordnungsstrukturen und algebraischen Strukturen erhält man komplexe Systeme.

Kapitel 7. Grundbegriffe der Graphentheorie Im anschaulichen Sinne sind Graphen Darstellungen wie die Abbildungen auf den vorangehenden Seiten. Diese Abbildungen stellen die Struktur von Systemen dar. Im mathematischen Sinn ist ein Graph jedoch die durch eine zweistellige Relation definierte Struktur eines Systems, die geometrische Darstellung also nur eine Abbildung eines solchen Systems. Definition 7.1. Graph Ein Graph besteht aus einer Menge M und einer in M definierten zweistelligen Relation R: G=M,R mit R MM Beispiel: M ={A,B,C,D} Definition 7.2. Knoten R = {A, B, A, C, D, C} Ist G = M, R ein Graph, dann nennt man die Elemente von M Knoten des G. In unserem Beispiel sind die Knoten des Graphen die Elemente A, B, C und D. Definition 7.3. Kanten Ist G = M, R ein Graph, dann nennt man ein Element aus R eine GERICHTETE KANTE von G. Die gerichteten Kanten in unserem Beispiel sind also die Paare A, B, A, C und D, C Ein Graph in diesem abstrakten Sinne kann durch Abbildungen verschiedener Art anschaulich gemacht werden. So kann man z.B. die Elemente von MM durch ein Gitter von Kreisen und die Elemente von R durch Kennzeichnung der entsprechenden Gitterkreise darstellen. D C ● ● B ● A A B C D Abb. 7.1. Beispiel: M ={ A,B,C,D,E} R ={ A,A,A,C,A,D,A,E,B,A, B,C,C,A,C,B,C,C,C,D, C,E,D,C,D,E,E,A,E,B, E,C,E,E}

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