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Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

Mathematische und logische Grundlagen der Linguistik

68 Kapitel 4 Z:

68 Kapitel 4 Z: Satz(the⁀girl⁀laughed) P: Satz(x1⁀y1) NP(x1), VP(y1) U: {x1/the⁀girl, y1/laughed} R: NP(the⁀girl), VP(laughed) Z = R: P: NP(x4⁀y4) Det(x4), N(y4) U: {x4/the, y4/girl} R: Det(the), N(girl), VP(laughed) Z = R: P: Det(the) U: R: N(girl), VP(laughed) Z = R: P: N(girl) U: R: VP(laughed) Z = R: P: VP(x5) Vi(x5) U: {x5/laughed} R: Vi(laughed) Z = R: P: Vi(laughed) U: R: Im folgenden Beispiel geht es um die zunächst merkwürdig erscheinende Frage, ob es überhaupt Ketten gibt, die nach der Grammatik zugelassen sind. Wir gehen aus von der Behauptung x Satz(x). Die Negation dieser Behauptung, x Satz(x), wird als zusätzliche Prämisse übernommen. Sie muß zunächst unter Verwendung der Äquivalenz x P(x) xP(x) in Klauselform übersetzt werden. Das Ergebnis, x Satz(x), hat die Klauselform Satz(x). Der Beweis sieht dann wie folgt aus: Z: Satz(x) P: Satz(x1⁀y1) NP(x1), VP(y1) U: {x/x1⁀y1} R: NP(x1), VP(y1) Z = R: P: NP(x3) Name(x3) U: {x1/x3} R: Name(x3), VP(y1) Z = R: Name(x3), VP(y1) P: Name(Mary) U: {x3/Mary} R: VP(y1) Z = R: P: VP(x5) Vi(x5) U: {y1/x5} R: Vi(x5) Z = R: P: Vi(jumped) U: {x5/jumped} R:

Grundbegriffe der Prädikatenlogik 69 Von Interesse ist hier primär nicht die Tatsache, daß die Behauptung x Satz(x) beweisbar ist, sondern daß auch eine Instanz für x geliefert wird, die man erhält, wenn man die Komposition der Unifikatoren bildet: (4.61.) Komposition der Unifikatoren {x/x1⁀y1}{x1/x3 }{x3/Mary}{y1/x5}{x5/jumped} {x/x3⁀y1}{x3/Mary}{y1/x5}{x5/jumped} {x/Mary⁀y1}{y1/x5}{x5/jumped} {x/Mary⁀x5}, x5/jumped} {x/Mary⁀jumped} Mit anderen Worten, im Zuge des Beweises werden durch Unifikation Variablen gebunden und damit Sätze GENERIERT. Jeder alternative Beweisweg generiert einen anderen Satz. 4.9. Definite Clause Grammar (DCG) 4.9.1. VERKETTUNG Wir waren bisher davon ausgegangen, daß in einer Regel wie (4.62.) Satz(x⁀y) NP(x), VP(y) eine Verkettungsoperation definiert ist, die Paare von Ketten auf Ketten abbildet (KK ↦K, wenn K die Menge aller möglichen Ketten ist) und ein funktionales Argument wie x⁀y entsprechend ausgewertet wird. Dies ist jedoch insbesondere in Prolog nicht gegeben. 23 Es gibt aber eine Möglichkeit, die Verkettung ausschließlich über die Unifikation von Termen zu beschreiben. Dazu benötigen wir zunächst eine präzise Definition des Begriffs KETTE: Definition 4.31. Kette Eine KETTE kann induktiv wie folgt definiert werden 1. Der Term nil ist eine Kette, die LEERE Kette. 2. Ist R eine Kette und K ein Term, dann ist K.R eine Kette. K ist der KOPF und R der RUMPF der Kette. Ein Ausdruck wie the girl laughed wird damit als the.girl.laughed.nil notiert. Die Behandlung der Verkettung (bzw. umgekehrt der Zerlegung von Ketten in Teilketten) beruht auf folgender Überlegung: Ein Kette k0 enthält am Anfang einen Satz mit einem Rest k (d.h. Satz(k0–k)), wenn es eine Anfangskette k0–k1 gibt, für die gilt NP(k0–k1) und die Restkette k1 eine Kette k1–k mit VP(k1–k) enthält. Die gesamte Kette k0 ist ein Satz, wenn die Restkette k leer ist. Die leere Kette soll mit der Konstante nil bezeichnet werden. k0–k1 k0 k0–k k k1 k1–k k 23 In Prolog sind Funktionen im prädikatenlogischen Sinne bloße syntaktische Strukturen, die nicht ausgewertet werden.

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