Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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das heißt, x erfüllt “ ∈ N und ∈ M”, woraus wir nach Definition wiederum
schließen, dass x∈N∩M. Die Umkehrung geht genauso (man tausche einfach
M und N füreinander aus). Ähnlich zeige ich, dass M∩M=M. Dazu sei x∈ M.
Dann erfüllt x auch die Eigenschaft “ ∈ M und ∈ M”, das heißt, x∈ M∩M.
Falls umgekehrt x∈ M∩M, so erfüllt x die Eigenschaft “ ∈ M und ∈ M”,
also ist x∈ M und x∈ M. Und so ist eben auch x∈ M.
Die Gesetze mit der leeren Menge machen erfahrungsgemäß Schwierigkeiten.
Deswegen möchte ich auch sie hier erläutern. Ist M eine Menge, so ist M∩∅ die
Menge aller Gegenstände, die sowohl in M sind wie auch in der leeren Menge.
Aber die leere Menge enthält nichts; also gibt es keinen Gegenstand, der in beiden
Menge enthalten ist. Die Menge ist also leer: M∩∅=∅. M∪∅ ist wiederum die
Menge der Gegenstände, die in M sind oder in∅. Ein Gegenstand, der darin ist,
muss aber in M sein, weil er nicht in∅sein kann. Also ist M∪∅= M.
Man mache sich klar, dass die Operation “−” weder kommutativ noch assoziativ
ist und auch nicht idempotent. Dies bedeutet im Einzelnen:
➀ Im Allgemeinen ist M−N N−M. Als Beispiel nenne ich{♠,♥}−{♥}
{♥}−{♠,♥}.
➁ Im Allgemeinen ist M− (N− O)(M− N)−O. Als Beispiel nenne ich
{♠,♥}−({♥}−{♠})({♠,♥}−{♥})−{♠}.
➂ Im Allgemeinen ist M−MM. Denn{♠,♥}−{♠,♥}{♠,♥}.
Ich sage “im Allgemeinen”, weil es durchaus positive Beispiele geben kann. So
ist, wenn etwa M=Ngilt, durchaus M−N= N−M. Diese Menge ist übrigens
die leere Menge, dh M−M=∅. Manchmal geht es halt, manchmal nicht. So gilt
zum Beispiel auch 3+(5×1)=(3+5)×1, aber deswegen ist im Allgemeinen
nicht x+y×z=(x+y)×z.
Es gilt aber Folgendes.
(13) M−∅= M M−M=∅
Außer den Gesetzen, die nur eine Operation enthalten, gibt es noch solche für
zwei Operationen:
(14)
(M∩ N)∪P=(M∪P)∩(N∪ P)
(M∪ N)∩P=(M∩P)∪(N∩ P)
Diese heißen Distributivgesetze. (Ein ähnliches Gesetz gilt auch für Zahlen: wir
haben (x+y)·z=(x·z)+(y·z), nur dass ein analoges Gesetz für den Ausdruck
(x·y)+z nicht existiert.)