Formale Methoden I - Universität Bielefeld

74 13. Kontextfreie Sprachen und Bäume
Man beachte, dass in dem Satz nicht gesagt wird, dassΓ(A(G))= G. Dies ist nämlich
gar nicht der Fall. Sei nämlich G=〈A, N, S, R〉 gegeben. Dann ist A(G)=
〈A, N∪{E}, S,{E},δ〉. Daraus wird dannΓ(A(G))=〈A, N∪{E}, S, R ′ 〉 für ein gewisses
R ′ . Man beachte insbesondere, dass die Konstruktion des Automaten einen
neuen Zustand erforderte, der nun in der Rückübersetzung als neues Nichtterminalsymbol
firmiert. Aber wenn man genauer hinsieht, entdeckt man, dass die
Unterschiede vernachlässigbar sind. Dazu nehmen wir uns mal die Regeln bzw.
Übergänge vor. Es seien Regeln R gegeben. Der konstruierte Automat hat die
Übergänge A−→E, a
wenn A→a eine Regel von G ist, und er hat die Übergänge
A−→ a
B, wenn A→aB eine Regel ist. Nun schauen wir uns die Regeln von
Γ(A(G)).Eist der einzige akzeptierende Zustand. Ist dann A−→E a
ein Übergang
des Automaten, so wirdΓ(A(G)) die Regel A→a enthalten. Ist A−→ a
B ein
Übergang und B nicht akzeptierend, also BE, dann ist A−→ a
B eine Regel von
Γ(A(G)). Also haben G undΓ(A(G)) dieselben Regeln.
Betrachten wir nun einen AutomatenA. Wiederum gilt nicht unbedingtA=
A(Γ(A)). Denn man beachte: währendAbeliebig viele akzeptierende Zustände haben
kann, hat A(Γ(A)) stets nur einen. Also können wir nicht erwarten, denselben
Automaten zurückzubekommen. In dem Fall, woεL(A), kann man aber jeden
Automaten umtransformieren in einen Automaten, der dieselbe Sprache erkennt
und nur einen akzeptierenden Zustand. Die Idee dabei ist, dass man einen neuen
ZustandEdazugibt und für jeden Übergang q−→ a
q ′ für q ′ ∈ F noch einen
Übergang q−→E. a
Anschließend ersetzen wir die ursprüngliche Menge F durch
{E}. Dieser Automat wiederum hat die Eigenschaft, dass A(Γ(A))=A, und daraus
ergibt sich letztlich die Behauptung des obigen Satzes.
13 Kontextfreie Sprachen und Bäume
In diesem Kapitel werden wir uns mit Strukturen zur Beschreibung von Sätzen
befassen. Hierbei geht es Strukturbeschreibung im Zusammenhang mit kontextfreien
Grammatiken. Wir werden sagen, dass eine kontextfreie Grammatik einem
ableitbaren Satz auch eine Struktur gibt, eine Baumstruktur, welche vom sprachlichen
Standpunkt aus viel wichtiger ist als die Ableitung, weil die Struktur etwas
über die Bedeutung aussagt.
Definition 13.1 (Kontextfreie Grammatik und Sprache) Eine kontextfreie Regel
ist eine Regel der Form A→⃗γ, wo A ein Nichtterminalsymbol ist und⃗γ eine
beliebige Zeichenkette. Eine Grammatik G heißt kontextfrei oder kurz eine KFG,