Formale Methoden I - Universität Bielefeld

80 13. Kontextfreie Sprachen und Bäume
schließlich fügen wir noch alle Regeln N b → b hinzu. Damit ist Schritt zur Normalform
getan. Nun können wir auch noch zur Chomskyschen Normalform übergehen.
Sei eine mehrstellige Regel gegeben, etwaT→UVWX. Unter Zuhilfenahme
neuer NichtterminalsymboleY undZersetzen wir diese Regel durch die Regeln:
(186) T→UY,Y→VZ,Z→WX.
Damit wird der einfache Übergang von⃗uT⃗v zu⃗uUVWX⃗v zu einer Serie
(187) ⃗uT⃗v,⃗uUY⃗v,⃗uUVZ⃗v,⃗uUVWX⃗v
Dieses Rezept lässt sich verallgemeinern.
Satz 13.4 (Pumplemma) Es sei L eine kontextfreie Sprache. Dann existiert eine
Zahl k derart, dass jedes Wort⃗x∈L der Länge≥ k zerlegt werden kann in⃗x=
⃗u⃗v⃗w⃗y⃗z, sodass⃗v⃗yεist und für alle i∈Ngilt⃗u⃗v i ⃗w⃗y i ⃗z∈L.
Man beachte, dass i auch 0 oder 1 sein darf. Ist i=0, so haben wir⃗u⃗w⃗z, ist i=1,
so bekommen wir⃗x. Für i=2 bekommen wir⃗u⃗v⃗v⃗w⃗y⃗y⃗z. Mit dem Pumplemma
lässt sich nicht zeigen, dass eine Sprache kontextfrei ist. Denn die Bedingung ist
notwendig, aber nicht hinreichend. Es gibt Sprachen, die erfüllen die Pumpbedingung,
ohne kontextfrei zu sein. Dazu gehört die Sprache{⃗xc⃗x :⃗x∈(a|b) ∗ }.
Denn diese Sprache ist pumpbar. Auf der anderen Seite lässt sich mit dem Pumplemma
zeigen, dass gewisse Sprachen nicht kontextfrei sind. So eine Sprache ist
{a n2 : n∈N}. Dazu nehmen wir ein beliebiges Worta n2 her und zerlegen es in
fünf Teilworte. Diese haben die Länge≤ n 2 , wobei zusätzlich⃗v⃗y die Länge g≤n 2
hat mit g>0. Dann haben die Worte⃗u⃗v i ⃗w⃗y i ⃗z die Länge n 2 + (i−1)g. Aber für
beliebig viele i ist n 2 + (i−1)g keine Quadratzahl.
Kommen wir nochmal auf die Sprache C={⃗xc⃗x :⃗x∈(a|b) ∗ } zurück. Zunächst
einmal sagen wir, eine Sprache habe die Pumpeigenschaft oder sei pumpbar,
wenn sie die in Satz 13.4 beschriebene Eigenschaft hat. Der Satz 13.4 besagt
dann, dass eine kontextfreie Sprache pumpbar ist. Die Umkehrung gilt nicht.
Proposition 13.5 Die Sprache C hat die Pumpeigenschaft, ist aber nicht kontextfrei.
Beweis. Wir zeigen, dass C pumpbar ist mit k = 3. Sei⃗x ein Wort der Länge
mindestens 3. Dieses lässt sich wie folgt zerlegen:⃗x=⃗sc⃗s. Ferner ist⃗s nicht leer,
also von der Form a⃗r für einen Buchstaben a und ein (möglicherwiese leeres)