Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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unregelmäßiger Nomina.)
(91)
ε→ses /s ␣
ε→es /ch ␣
ε→es /sh ␣
y→ies / ␣
Um genau zu sein, müssten wir unsere ursprüngliche Regel einschränken. Sie darf
auf die eben aufgezählten Worte nicht anwendbar sein. Dies kann man erreichen,
indem man die Regel in Unterfälle aufteilt, etwa so:ε→s/a ␣,ε→s/b ␣,
und so weiter. Man hat dafür auch wieder Kurzschreibweisen, die einem erlauben,
Kontexte zusammenzufassen, oder komplementäre Kontexte zu definieren,
aber das will ich hier nicht weiter verfolgen. Zur Sicherheit liefere ich noch eine
formale Definition.
Definition 9.2 (Kontextsensitive Regel) Es heißt⃗x→⃗y/⃗u ⃗v eine kontextsensitive
Ersetzungsregel. Diese Notation ist gleichwertig mit⃗u⃗x⃗v→⃗u⃗y⃗v. Wir sagen,
die Ersetzung von⃗x durch⃗y sei in dieser Regel kontextgebunden.
Diese Notation sollte man sich merken, weil sie oft vorkommt. Der Kontext der
Regel ist nicht als das ganze Wort zu verstehen, in dem ersetzt wird. So erlaubt
die Regel den Übergang von⃗w⃗u⃗x⃗v⃗z nach⃗w⃗u⃗y⃗v⃗z, weil die Kontextbedingung
erfüllt ist: unmittelbar vor⃗x befindet sich die Zeichenkette⃗u, und unmittelbar
danach haben wir⃗v.
Wir machen noch einen weiteren Schritt zur Verallgemeinerung. Es sei R eine
Menge von Regeln (üblicherweise endlich). Dann schreiben wir⃗x→ R ⃗y und sagen,
R erlaube den Übergang von⃗x nach⃗y, falls es einρ∈R gibt mit⃗x→ ρ ⃗y.
Die Schreibweise⃗x→ n R ⃗y beziehungsweise⃗x→n R⃗y ist analog zu oben definiert.
Definition 9.3 (Grammatik) Eine formale Grammatik ist ein Quadrupel G =
〈A, N, S, R〉, wobei A das terminale Alphabet, N das nichtterminale Alphabet,
S ∈ N das Startsymbol und R eine endliche Menge von Ersetzungsregeln über
A∪N ist. A und N seien endlich. Ferner wird verlangt, dass in jeder Regel⃗x→
⃗y∈R⃗x wenigstens ein nichtterminales Symbol enthält.
Definition 9.4 (Sprache einer Grammatik) Es sei G=〈A, N, S, R〉 eine Grammatik.
Wir schreiben⃗x⊢ G ⃗y, falls⃗x→ ∗ R⃗y, das heißt, falls es ein n∈N gibt mit
⃗x→ n R ⃗y. Außerdem schreiben wir⊢ G⃗y, wenn S⊢ G ⃗y. Schließlich ist
(92) L(G)={⃗y :⊢ G ⃗y}