Formale Methoden I - Universität Bielefeld

40 7. Wörter und Sprachen
Welche wir wählen, hängt von uns ab. Und dann wählen wir natürlich diejenige,
die uns am Besten vor Augen führt, wie f beschaffen ist.
Deswegen können wir letztendlich auch noch ganz andere Darstellungsformen
wählen, da es ja nur darauf ankommt, dass wir uns zweifelsfrei mitteilen. Eine
andere Visualisierung ist wie folgt. Wir stellen uns ein langes Band mit Zellen
vor, welche jeweils einen Buchstaben tragen. Die Zellen sind abgezählt, die erste
trägt die Nummer 0, die zweite die Nummer 1, und so weiter. Und dann sieht f
wie folgt aus.
(62)
a a b a c
0 1 2 3 4
Ist A⊆B, so ist jedes Wort über A auch ein Wort über B. Der Wertebereich, das
heißt das Alphabet, ist also teilweise unerheblich. f ist immer dann ein Wort über
A, wenn A schon das ganze Bild von f enthält.
Es gibt ein ganz besonderes Wort, das leere Wort. Es ist die (eindeutig bestimmte)
Funktionε : 0→A.εist das einzige Wort der Länge 0. (Es ist auch
unabhängig vom Alphabet.) Wer die Definitionen aufmerksam liest, wird sehen,
dassεidentisch mit der leeren Menge ist. Trotzdem verwenden wir das Symbol
ε, um das leere Wort zu bezeichnen.
Man beachte, dass es auf der Schreibmaschine auch noch die Leertaste gibt;
wenn man diese drückt, erscheint kein Symbol, aber trotzdem rückt man im Text
eine Stelle weiter. Im Computer hat allerdings das Leerzeichen einen Code, es
wird behandelt wie ein Zeichen, das man sieht. Damit dies auch augenfällig wird,
schreibt man gerne␣, um die Gegenwart des Leerzeichens zu signalisieren. Und
so ist zum Beispielab␣hier eine Zeichenkette der Länge 7, welche aus zwei
Worten besteht,ab undhier, getrennt durch ein Leerzeichen. Es gibt also zwei
verschiedene Leerheiten, wenn man so will. Die erste ist das leere Wort, die zweite
das Wort␣, welche eine Funktion f von 1 nach A ist (wobei␣∈A vorausgesetzt
wird) mit f (0)=␣).
Ich benutze Vektorpfeile (⃗x,⃗y usw.), um Wörter zu bezeichnen. Sind nun⃗x :
m→A und⃗y : n→A über demselben Alphabet, so ist die Verkettung oder
Hintereinanderschreibung⃗x·⃗y wie folgt definiert. Es ist⃗x·⃗y : m+n→A, und
zwar ist
⎧
⎪⎨ ⃗x(k) falls k