Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Ich hebe noch einmal das kombinatorische Argument hervor. Es seien P=
{a, b} und Q={c, d} zwei Mengen und P=Q. Dann gilt (a) a=c und b=d, oder
(b) a=d und b=c. Denn zunächst einmal haben wir a∈P, sodass also a∈Q
sein muss (Definition 2.1). Also ist a=c oder a=d. Da nun auch b∈P, so muss
ebenfalls b=c oder b=d. Von den vier möglichen Kombinationen bleiben nur
2. Denn ist a=c und b=c, so muss zusätzlich c=dsein. Denn aus d∈Q folgt
ja auch d∈P, sodass d=a oder d=b sein muss. In beiden Fällen ist dann d=c.
Dies erzwingt a=b=c=d, was aber sowohl durch den Falle (a) wie auch den
Fall (b) abgedeckt ist. Ebenso sieht man, dass a=dund b=dzur Folge hat, dass
a=b=c=d.
Ich füge noch hinzu, dass〈m, n〉 stets zwei Elemente hat, nämlich m und{m, n}.
Diese sind deswegen verschieden, weil m∈{m, n} und deswegen nicht m={m, n}
sein kann.
Wie definieren wir nun die Projektionen? Wie können wir praktisch aus einem
Paar die Komponenten herausfischen? Dazu betrachte ich zwei Fälle. Der
erste Fall ist, dass〈m, n〉={m,{n, m}} ist, wo m=n. In diesem Fall ist〈m, n〉=
〈m, m〉={m,{m}}. Unser Paar hat dann zwei Elemente, nennen wir sie u und v,
von denen eines die Eigenschaft hat, das andere als einziges Element zu enthalten.
Ohne Einschränkung ist u={v}. Dann ist v=m. Denn wäre U= m, so hätten
wir ja wieder eine unfundierte Menge! Somit können wir m wiederfinden, und
gleichzeitig können wir erkennen, dass m=nist.
Nun also der Fall, wo mn. Dann hat{m,{n, m}} wiederum zwei Elemente
U und V, wobei ohne Einschränkung U∈ V (aber dann nicht V∈ U). In diesem
Fall ist U= m, und dann ist V={m, n} für ein n, das sich eindeutig wiederfinden
lässt.
Definition 4.3 (Projektion) Die Funktionenπ 1 undπ 2 sind auf allen Mengen der
Form p={m,{m, n}} definiert. p hat genau zwei Elemente, das heißt p={u, v},
wobei ohne Beschränkung der Allgemeinheit u∈v. Dann istπ 1 (p) := u.π 2 (p) ist
wie folgt definiert. Ist v={u}, so istπ 2 (p) := u, ansonsten istπ 2 (p)=w, wo w
dasjenige Element ist mit v={u, w}.
All dies dient nur der Zusicherung, dass unsere Definition all das tut, was sie auch
tun soll.
Definition 4.4 (Kartesisches Produkt) Es ist M×N :={〈m, n〉 : m∈ M, n∈ N}.
Diese Menge heißt das kartesische Produkt von M und N. Eine Relation von
M nach N ist eine beliebige Teilmenge R von M×N. Wir sagen dann, x steht in
Relation R zu y, falls〈x, y〉∈R. Wir schreiben alternativ auch “x R y”.