Formale Methoden I - Universität Bielefeld

46 8. Wie viele und welche Sprachen gibt es?
eine Zuordnung (= Funktion) zwischen Elementen der Menge M und den Zahlen.
Und zwar nicht einfach irgendwelchen Zahlen. Sondern wir nehmen die ersten
Zahlen, die wir finden können. Im normalen Leben beginnen wir mit 1, aber in
der Mathematik (und Informatik) beginnt man mit 0. Und dann zählen wir wie
gehabt weiter: 1, 2, 3,··· . Unsere Funktion F sieht zum Beispiel so aus:
(70) F={〈0,♣〉,〈1,♥〉,〈2,♦〉,〈3,♠〉}
In der Tat ist sie auf den ersten 4 Zahlen definiert. Da nun auf der anderen Seite 4=
{0, 1, 2, 3} ist, ist jetzt F eine bijektive Abbildung von 4 auf M. Und so kommen
wir darauf, zu sagen, M habe 4 Elemente. Halten wir also fest:
Eine Menge M hat die Mächtigkeit k, wenn es eine Bijektion von k
auf M gibt.
Wieso ist nun diese Definition eindeutig? Kann es nicht sein, dass wir eine Bijektion
F : m→ M und eine Bijektion G : n→ M finden, wo mnist? Dazu lautet
die Antwort: das ist unmöglich. Ich mache das wie folgt plausibel. Zunächst ist
G ⌣ auch eine Funktion, weil G bijektiv ist; und dann ist G ⌣ auch eine Bijektion.
Und schließlich ist G ⌣ ◦ F : m→n auch eine Bijektion. Es folgt also, dass m und
n die gleiche Mächtigkeit haben. Das geht nicht, wie wir wissen. Und das kann
man sogar beweisen!
Satz 8.2 (Cantor) Für je zwei Mengen M und N gilt stets genau einer der drei
Fälle: (a)|M||N|.
Die Relation “ist gleichmächtig mit” ist eine Äquivalenzrelation. Zunächst ist jede
Menge gleichmächtig mit sich selbst. Die Identitätsfunktion ist nämlich eine
Bijektion der Menge auf sich. Ferner ist mit f ; M→Nauch f ⌢ : N→M eine
Bijektion, und mit f : M → N und g : N → P auch g◦ f : M → P. Dies
rechtfertigt die Schreibweise “|M|=|N|” für die Tatsache der Gleichmächtigkeit
von M und N.
In der Mengenlehre definiert man anschließend sogenannte Kardinalzahlen.
Diese haben die folgende Eigenschaft: sindαundβKardinalzahlen, so istα∈β
genau dann wenn|α| < |β| undα = β genau dann, wenn|α| = |β|. Ich gebe
hier kommentarlos eine Definition wieder. Die Konsequenzen dieser Definition zu
verstehen, ist nicht leicht, weswegen sie im Folgenden auch keine Rolle spielen
wird.
Definition 8.3 Eine Mengeαheißt Ordinalzahl, wenn sie folgende Eigenschaft
hat: für jedesβ∈α giltβ = {γ ∈α:|γ|