Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Abbildung 9: Kardinalzahlen als Graphen
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3
2
2
2
1
1
1
1
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0
0
0
genau n Elemente. Damit jetzt n+1genau n+1 Element hat, müssen wir zeigen,
dass nn ist. Dies wird aber bei Mengen stets vorausgesetzt. Es ist ein eisernes
Gesetz, dass eine Menge sich nicht selbst enthalten kann. Außerdem sind die
Mengen n transitiv:
Proposition 6.1 Die Mengen n sind transitiv, das heißt, ist S∈ P∈n, so ist auch
S∈ n.
Beweis. Induktion über n. Ist n=0 so ist n=∅ und deswegen P∈n nie der
Fall, also die Behauptung richtig. Nun sei die Behauptung für n gezeigt, und es
sei S∈ P∈n+1. Nun ist n+1=n∪{n} und so ist entweder (a) P∈n oder (b)
P=n. Fall (a). Ist S∈ P, so ist S∈ n, weil n transitiv ist. Nun ist n⊆n+1 (das
folgt unmittelbar aus (54)), also S ∈ n+1. (b) Ist S ∈ P, dann ist S ∈ n. Wie in
(a) ist dann aber schon S∈ n+1.⊣
Daraus bekommen wir folgende Eigenschaft.
Proposition 6.2 Genau dann ist P∈n, wenn P=kfür ein k