Formale Methoden I - Universität Bielefeld

58 10. Reguläre Sprachen
Beim Produkt von Sprachen verhält sich{ε} also genauso, wieεbei der Verkettung
von Zeichenketten oder Wörtern. Es sei angemerkt, dass bei der Notation
das Produkt stärker bindet als die Vereinigung. Es ist also L· M∪ N unmißverständlich:
es ist zu lesen als (L· M)∪N und nicht als L·(M∪N).
Es ist üblich, folgende Abkürzungen zu benutzen:
(109) ⃗x 0 :=ε, ⃗x n+1 :=⃗x n·⃗x
Diese Notation benutzen wir auch für Sprachen. Es ist dann
(110) L 0 :={ε}, L n+1 := L n· L
Besonders wichtig ist der Kleene-Stern (−) ∗ .
Definition 10.3 (Kleene Stern) Es sei L eine Sprache; dann bezeichnet L ∗ die
folgende Sprache:
⋃
(111) L ∗ := L n = L 0 ∪ L 1 ∪ L 2 ∪···
n∈N
Es ist also L ∗ die Menge aller endlichen Wiederholungen von L.
Der Stern bindet stärker als·. Ich weise gleich darauf hin, dass im Allgemeinen
nicht L n ={⃗x n : n∈N}. Ein Beispiel dazu ist L :={a,b}. Dann haben wir
(112) L·L={a,b}·{a,b}={aa,ab,ba,bb}{aa,bb}
Der Kleene-Stern ist deswegen so bedeutsam, weil die Sprache L ∗ eine einfache
Rekursionsgleichung löst. Ich bringe zunächst ein Beispiel. Es sei folgende Gleichung
gegeben.
(113) X={ab}·X∪{a,ca}
Wir wollen die Menge X bestimmen, die diese Gleichung löst. Aufgrund der Gleichung
ist M :={a,ca}⊆X. Wir setzen also X 0 :={a,ca}. Es ist dann X 0 ⊆ X. Da
nun auch{ab}·X⊆X, so ist auch{ab}· X 0 ⊆ X, also sindaba undabca auch in
X. Wir setzen also
(114) X 1 :={ab}·X 0 ∪ M={a,ca,aba,abca}
Es ist also X 1 ⊆ X. Und dann setzen wir
(115) X 2 :={ab}·X 1 ∪ M={a,ca,aba,abca,ababa,ababca}