Formale Methoden I - Universität Bielefeld

1 Bevor es losgeht
Bevor ich mit dem eigentlichen Inhalt beginne, möchte ich einige Dinge zum Text
und zu der Methodik sagen. Ein wesentliches Merkmal des Textes ist, dass er relativ
‘trocken’ ist, das heißt zum Beispiel, dass ich jede gemachte Behauptung
beweise, sofern sie nicht ein sogenanntes Axiom ist. Axiome sind in der mathematischen
Praxis Setzungen wie Spielregeln. Wer sie nicht anerkennt, spielt
nicht dasselbe Spiel. Natürlich sind diese Setzungen motiviert, und die Motivation
erkläre ich auch. Jedoch kann man das Spiel auch dann spielen, wenn man die
Motivation nicht versteht oder ablehnt. Der Gehalt der Sätze wird oft durch die
Beweise erst wirklich klar. Denn der Beweis, wenn er denn einer ist, enthüllt, was
es zu zeigen gibt. Ich erwarte allerdings von niemandem, dass sie diese Beweise
auswendung kennen oder gar wiederholen können. Dennoch gibt es sicher einige,
die wissen wollen, warum denn nun der behauptete Sachverhalt gilt. Deswegen
gebe ich den Grund auch an, und der Grund besteht in der Regel in einem Beweis.
Ich bitte deswegen um Nachsicht, denn dieser Text soll ja einem bunten Publikum
dienen. Aus der Vorlesung wird ohnehin klar werden, worauf es ankommt.
Die hier verwendete Notation ist wie folgt. Ich unterscheide symbolisch zwischen
zwei Symbolen für die Gleichheit: “=” und “:=”. Das erste steht für eine
Gleichheit, die behauptet wird (etwa in “3+4=7”) also eine Aussage. Das zweite
steht für eine Gleichheit durch Setzung, etwa in “〈M, N〉 :={M,{M, N}}”), also
eigentlich eine Anweisung. Dies ist analog zu Computersprachen, bei denen “:=”
dafür genommen wird, um einer Variablen einen Wert zuzuweisen (“x := √ 7”),
während “=” bei Abfragen genommen wird (etwa in “if x=y then”). Dies ist deswegen
nützlich, weil nicht immer aus dem Text selber deutlich wird, ob es sich
nun um eine Setzung handelt oder nicht.
Ein Begriff wird fett gedruckt, wenn er definiert wird. Üblicherweise wird
ein Begriff auch zum ersten Mal verwendet, wenn er gerade definiert wird. Dies
ist aber nicht immer der Fall, und solche Vorkommen werden besonders gekennzeichnet
(zum Beispiel durch Schrägdruck).
Eine Notation wird erst dann eingeführt, wenn sie zum ersten Mal verwendet
werden soll. Es sei hier betont, dass die genaue Notation oft unerheblich ist.
So schreiben viele Autoren anstelle des von mir benutzten Differenzzeichens “−”
den Schrägstrich “\”; sie schreiben also “M\N” anstelle von “M−N”, wie ich
hier schreibe. Ebenso schreibe ich{x : ···}, wo viele{x | ···} schreiben. Es
bleibt Ihnen überlassen, ob Sie die von mir vorgeschlagene Notation nehmen wollen
oder eine andere. Ich gebe gelegentlich Alternativen an, und diese sind dann
frei verfügbar. Sie können stets auch selber eine andere, nicht erwähnte Notation