Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Je nachdem, welches Vorkommen wir wählen, bekommen wir ein verschiedenes
Ergebnis:
(82)
a d a a a b a d a a a b
↓ ↓
a d b a a b a d a b a b
Aus diesem Grunde muss man nicht nur sagen, man wendet die Regel auf eine
Zeichenkette an, sondern man wendet sie auf ein Vorkommen eines Wortes in der
Zeichenkette an. Je nachdem, welches Vorkommen man benennt, bekommt man
ein verschiedenes Ergebnis.
Dass die Länge der Zeichenkette gleich bleibt, ist nur deswegen so, weil die
ersetzende Zeichenkette die gleiche Länge hat wie die, die ersetzt wird. Für die
Regel〈aa,c〉 gilt dies nicht.
(83)
a d a a a b a d a a a b
↓ ↓
a d c a b a d a c b
Ich weise noch auf zwei Spezialfälle hin. Der erste ist eine Regel der Form〈⃗x,ε〉.
Diese bringt ein Vorkommen von⃗x zum Verschwinden. So etwas nennt man eine
Tilgung. Sei zum Beispiel die Regela→ε auf/aba/ angewendet, so bekommen
wir wahlweise/ba/ oder/ab/, je nachdem, welches Vorkommen von/a/ wir
ausgewählt haben. Der umgekehrte Fall ist die Einfügung: das ist eine Regel der
Form〈ε,⃗x〉. Ein Beispiel soll illustrieren, wie diese Regel sich auswirkt. Das einfachste
Beispiel ist die Regel〈ε,x〉. Diese fügt irgendwo den Buchstaben/x/ ein.
Damit kann man aus der Zeichenkette/aaa/ wahlweise/xaaa/,/axaa/,/aaxa/
oder/aaax/ erzeugen. Ich erläutere das am ersten Beispiel. Das leere Wort hat in
der Zeichenkette/aaa/ das Vorkommen〈0, 0〉, also ganz am Anfang. Ersetzen wir
es durch/x/, so steht nun/x/ vor allen Buchstaben: wir bekommen/xaaa/.
Sei zum Beispielρ=〈a,ä〉. Dann erlaubtρden Übergang von/Vater/ zu
/Väter/. (Setze dazu⃗w 1 :=V und⃗w 2 =ter.) Es erlaubt aber nicht den Übergang
von/Mutter/ zu/Mütter/, und auch nicht den Übergang von/ala/ zu/älä/, weil
die Ersetzung nur einmal vorgenommen werden darf. Allerdings können wir die
Anwendung einer Regel wiederholen. Wir definieren nun wie folgt.
(84)
(85)
(86)
⃗x→ 0 ρ⃗y :⇔⃗x=⃗y
⃗x→ n+1
ρ ⃗y :⇔ es existiert ein⃗z mit⃗x→ n ρ ⃗z→ ρ⃗y
⃗x→ ∗ ρ⃗y :⇔ es existiert ein n∈Nmit⃗x→ n ρ⃗y