Formale Methoden I - Universität Bielefeld

66 11. Endliche Automaten
wo i der Startzustand ist, die a i Buchstaben des Alphabets, und q i Zustände derart,
a i
dass q i −→ q i+1 .list akzeptierend, falls q n ∈ F. Wir sagen auch, dassl ein Lauf
über dem Wort a 0 a 1···a n ist.
Den Lauf können wir auch wie folgt aufschreiben:
(140) i
a 0
−→ q 0
a 1
−→ q1···
a n
−→ qn
Hier ist ein Lauf des obigen Automaten:
(141) 〈q 0 , 5, q 5 , 10, q 15 , 10, q 25 〉
Dieser Lauf ist akzeptierend, denn er endet im Zustand q 25 und q 25 ∈ F. Alternativ
notiert sieht der Lauf so aus:
(142) q 0
5
−→ q 5
10
−→ q 15
10
−→ q 25
Hier nun ein Beispiel eines nicht akzeptierenden Laufs:
(143) q 0
100
−→ q 0
10
−→ q 10
5
−→ q 15
Nehmen wir nun den Automaten (135). Hier existieren Zeichenketten, für die es
keinen Lauf gibt, so zum Beispiel/aaba/. Denn von 0 aus geht der Automat mit
a nach 0, dann mitanach 0, mitbnach 1. Jetzt ist noch einaübrig, aber es gibt
keinen Übergang von 1 aus mita. Also existiert kein Lauf. Dies bedeutet übrigens,
dass der Automat die Zeichenkette nicht akzeptiert.
Definition 11.3 (Sprache eines Automaten) Ein endlicher AutomatAakzeptiert
⃗x
⃗x, falls es ein q∈Fgibt mit i−→ q. Die Menge aller vonAakzeptierten Wörter
heißt die Sprache vonAund wird mit L(A) bezeichnet.
Ein paar einfache Bemerkungen. Ist F =∅, so ist L(A)=∅. Es ist aber nicht
unbedingt so, dass L(A)=A ∗ ist, wenn nur F=Q. Denn dazu muss zu jedem
⃗x
Wort⃗x erst einmal ein Zustand q existieren mit i−→ q. Ein endlicher Automat
heißt total, wenn für jedes q∈Q und a∈A ein q ′ existiert mit〈q, a, q ′ 〉∈δ.
Offensichtlich existiert in einem totalen Automaten zu jedem⃗x stets ein Zustand
⃗x
q mit i−→ q. Dies zeigt man zum Beispiel durch Induktion über die Länge von
⃗x. Der Bezahlautomat zum Beispiel ist total, der Automat (135) dagegen nicht.
Wir können jeden endlichen Automaten total machen. Dazu müssen wir nur
einen neuen Zustandµhinzufügen (das heißt, ein ElementµQ). Dieser fängt