Formale Methoden I - Universität Bielefeld

8 2. Mengen: Was sind sie und wie bekommt man sie?
M und N sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Gegenstände enthalten;
das bedeutet: Gegeben irgendein beliebiger Gegenstand m, so ist m genau dann in
M, wenn er in N ist. Damit wir uns an die formale Schreibweise gewöhnen, werde
ich dies in der nötigen Präzision aufschreiben.
Definition 2.1 (Element) Es sei M eine Menge. Wir schreiben “m∈ M”, um zu
sagen, dass m ein Element von M ist. Es sei N eine weitere Menge. Genau dann
ist M gleich N, in Zeichen “M=N”, wenn für alle m gilt: m∈ M genau dann,
wenn m∈N.
(1) M=N↔ (∀m)(m∈ M↔ m∈N)
Hierbei ist↔die Abkürzung von “genau dann, wenn” und (∀m) die Abkürzung
von “für alle m”.
Indem wir nun erklären, dass auch Mengen Gegenstände unserer Anschauung
sind, haben wir nunmehr unseren Objektbereich erweitert. Zu den Gegenständen
zählen jetzt nicht allein die 4 vorher gegebenen Dinge—nennen wir sie die ersten
Gegenstände—, sondern auch die daraus geformten 16 Mengen. Das macht jetzt
20 Gegenstände, denn die ersten Gegenstände sind verschieden von den Mengen,
und natürlich auch untereinander. Und aus diesen 20 Gegenständen können wir
nun wiederum in der gleichen Weise Mengen machen!
Dabei geht es jetzt in großen Schritten weiter. Aus insgesamt 20 Gegenständen
kann man 2 20 = 1048576 Mengen basteln, zusätzlich zu den alten Mengen.
(Eine einzige Ausnahme gibt es aber, vielleicht ahnen Sie schon, welche dieser
Mengen nicht neu ist.) Neu hinzu kommen viele neue und zum Teil ganz ungewöhnliche
Mengen wie{♠,{♥}},{{♦}},{♠,∅}, oder sogar{∅}. Dabei ist{∅} nicht
dasselbe, wie∅. Denn{∅} ist nicht leer; sie enthält ein (und nur ein) Element,
die leere Menge. Dies ist sehr gewöhnungsbedürftig. Wir dürfen auf keinen Fall
{M} mit M gleichsetzen, was immer auch M sei. Deswegen ist jetzt{{♦}} weder
gleich mit{♦} noch gleich mit♦, sondern alle drei sind verschiedene Objekte. Ich
habe zur Verdeutlichung einige dieser Mengen in einen Graphen eingezeichnet
(Abbildung 2).
Die hier beschrieben Art der Mengenbildung war die von Cantor beschriebene.
Jedoch ist diese Art zu umständlich. Nehmen wir mal an, wir wollen die Menge
P aller Primzahlen bilden. Diese sähe rein intuitiv etwa so aus:
(2) P :={2, 3, 5, 7,···}
Das Problem an dieser Definition sind die drei Punkte. Diese sagen nichts weiter
wie: und so weiter. Aber wie genau geht es denn weiter? Das weiß man nicht