Formale Methoden I - Universität Bielefeld

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Die Ableitung von/Hund/ (analog zu (157)) sieht jetzt so aus:
(159) ,H,Hu,Hun,Hund
Mittels der Zahlen zählen wir einfach, wie viele Symbole bereits ausgegeben wurden.
Damit ist wiederum klar, wie wir eine reguläre (!) Grammatik schreiben, die
ein festes Wort ausgibt und sonst nichts.
Es ist kein Zufall, dass es immer nur ein einziges Nichtterminalsymbol in den
Zeichenketten gibt und dieses am rechten Rand auftritt.
Proposition 12.2 Es sei G eine reguläre Grammatik und⃗x∈(A∪N) ∗ ein Wort
mit⊢ G ⃗x. Dann ist⃗x∈A ∗ ∪ A ∗·N. Das heißt,⃗x hat die Form a 0 a 1···a n−1 oder
a 0 a 1···a n−1 B, wo die a i terminale Buchstaben sind und B ein Nichtterminalzeichen.
Dies kann man sich leicht selbst überlegen; dazu bedienen wir uns der Induktion
über die Länge der Ableitung. Ist diese 0, so haben wir nur das Anfangswort, und
dieses besteht aus dem Startsymbol. Dies erfüllt offensichtlich die Behauptung.
Nun habe die Ableitung die Länge n+1 und die Behauptung sei schon für alle
Ableitungen der Länge≤ n gezeigt. Dann ist das Ende der Ableitung wie folgt:
〈···,⃗xB, ?〉. Die letzte Zeichenkette wird durch Ersetzung von B erzeugt. Dabei
gibt es zwei Fälle. (a) Wir nehmen eine Regel der Form B→a oder B→ε. Dann
erhalten wir das Wort⃗xa bzw.⃗x. (b) Wir nehmen eine Regel der Form B→aC,
dann erhalten wir ein Wort der Form⃗xaC. In beiden Fällen gilt die Behauptung.
Ich weise darauf hin, dass in dem Beweis wesentlich verwendet wurde, dass⃗x
aus S abgeleitet wurde. Nehmen wir zum Beispiel die obige Grammatik. Dann gilt
TabS⊢ G TabaT, undTabaT hat nicht die versprochene Form (und kann deswegen
nicht aus dem Startsymbol hergeleitet werden). Allerdings hat auch schonSabT
nicht diese Form, und wenn man den Beweis genau anschaut, sieht man, dass
immer wenn⃗x die gewünschte Form hat und⃗x⊢ G ⃗y, dann ist auch⃗y von dieser
Form.
Die Äquivalenz zwischen endlichen Automaten und regulären Grammatiken
ist relativ direkt zu sehen. Dazu erst einmal eine wichtige Beobachtung.
Proposition 12.3 Zu jeder regulären Grammatik G existiert eine reguläre Grammatik
G ◦ mit L(G ◦ )=L(G), welche keine Regeln der Form A→abesitzt.
Beweis. Sei G=〈A, N, S, R〉. Sei EN; wir ersetzen jede Regel der Form A→a
durch zwei Regeln, nämlich A→aE und E→ε. Genauer ist
(160)
R ◦ := {A→aE : A→a∈R}
∪ {A→aB : A→aB∈R}
∪ {E→ε}